【优化方案】2015年高考数学 第三章 第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件 新人教A

第三章三角函数、解三角形第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝_______________________________；cos(α∓β)＝______________________________；tan(α±β)＝______________________________．tanα±tanβ1∓tanαtanβsinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝____________；cos2α＝____________＝_____________＝____________;tan2α＝_____________．3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)_______________；(2)cos2α＝____________，sin2α＝_______________；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.2tanα1－tan2α1＋cos2α21－cos2α22sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α(1∓tanαtanβ)1．(2013·高考江西卷)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23C2．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα＝()A．－72B．－12C.12D.72C3．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1D4．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为________．5．已知α∈π2，π，sinα＝55，则tan2α＝________．22－43(2013·高考广东卷)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求f－π6的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.三角函数公式的直接应用[课堂笔记]【解】(1)因为f(x)＝2cosx－π12，所以f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝2×22＝1.(2)因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－725，sin2θ＝2sinθcosθ＝2×35×－45＝－2425.所以f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝2×22cos2θ－22sin2θ＝cos2θ－sin2θ＝－725－－2425＝1725.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1．已知α∈(0，π2)，tanα＝12，求tan2α和sin(2α＋π3)的值.【解】tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－（12）2＝43.∵α∈(0，π2)，2α∈(0，π)，tan2α＝43＞0，∴2α∈(0，π2)，∴sin2α＝45，cos2α＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin2α·cosπ3＋cos2α·sinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.(1)(2014·河南洛阳统考)函数f(x)＝2sin2(π4＋x)－3cos2x的最大值为()A．2B．3C．2＋3D．2－3(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________．三角函数公式的活用[课堂笔记]B12cos2x【解析】(1)依题意，f(x)＝1－cos2(π4＋x)－3cos2x＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin2x－π3＋1，可得f(x)的最大值是3.(2)原式＝12（4cos4x－4cos2x＋1）2×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝（2cos2x－1）24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．2．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．2【解析】－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.(1)设tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝()A.1318B.1322C.322D.16角的变换C(2)(2014·贵州六盘水质检)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()A．－12B.12C．－13D.2327[课堂笔记]D【解析】(1)tanα＋π4＝tan（α＋β）－β－π4＝tan（α＋β）－tanβ－π41＋tan（α＋β）tanβ－π4＝322.(2)∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.3．已知α，β∈(0，π2)，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．【解】(1)∵α，β∈0，π2，从而－π2＜α－β＜π2.又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×31010＋35×－1010＝91050.(2013·高考四川卷)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．二倍角公式的应用3[解析]∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.∵α∈π2，π，sinα≠0，∴cosα＝－12.又∵α∈π2，π，∴α＝23π，∴tan2α＝tan43π＝tanπ＋π3＝tanπ3＝3.本考题源于教材人教A版必修4P135练习T3“已知sin2α＝－sinα，α∈(π2，π)，求tanα的值．”的变式而成．1．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2(α＋π4)＝()A.16B．13C.12D.23A【解析】∵sin2α＝23，∴cos2(α＋π4)＝1＋cos（2α＋π2）2＝1－sin2α2＝1－232＝16.2．(2014·河北衡水一中月考)设x∈(0，π2)，则函数y＝2sin2x＋1sin2x的最小值为________．3【解析】因为y＝2sin2x＋1sin2x＝2－cos2xsin2x，所以令k＝2－cos2xsin2x.又x∈(0，π2)，所以k就是单位圆的左半圆上的动点P(－sin2x，cos2x)与定点Q(0，2)所在直线的斜率，又kmin＝tan60°＝3，所以函数2sin2x＋1sin2x的最小值为3.