2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 5-6 函数y=Asin(ωx φ)的图象及三角

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考纲要求考情分析1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A、ω、φ对图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换以及根据图象确定A,ω,φ的问题是高考的热点,主要考查识图、用图能力,同时也考查三角变换问题.从题型来看,选择题、填空题主要考查“五点法作图”及图象变换的问题,如2012年浙江卷6、天津卷7,在解答题中考查了图象变换;解答题主要结合三角恒等变换,考查y=Asin(ωx+φ)的性质及应用,试题难度不大,属于中低档题,如2012年陕西卷17、湖南卷18等.预测:2013年高考小题仍以考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换及根据图象确定A、ω、φ为主,解答题以三角变换为基础,研究其图象性质,化简的目标函数是y=Asin(ωx+φ)+b的形式.1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0),x∈[0,+∞)AT=.f=1T=ωx+φφ2πωω2π2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示.xωx+φy=Asin(ωx+φ)0A0-A0-φω-φω+π2ωπ-φω3π2ω-φω2π-φω0π2π3π22π问题探究1:用五点法作图找五个点时,如上表应首先确定哪一行的数据?提示:第二行,即先使ωx+φ=0,π2,π,3π2,2π,然后求出x的值.3.函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤问题探究2:在图象变换的两种方法中,左右平移的单位长度一样吗?为什么?提示:不一样.因为左右平移和伸缩变换都是对自变量x而言的.法二中,由步骤2到步骤3变换时,左右平移变换必须是只针对x,求三角函数的解析式须注意φ的值φ是由函数图象的位置确定,但φ的值是不确定的,它有无数个,事实上,如果φ0是满足条件的一个φ值,那么2kπ+φ0,k∈Z都是满足条件的φ值,故这类题目一般都会限制φ的取值范围,若没限制φ的取值范围,也能根据所给的图象去判断.适时关注题设条件中φ的取值范围或数形结合,避开此类问题的陷阱.1.(2013年山东滨州联考)要得到函数y=3sin(2x-π4)的图象,可以将函数y=3sin2x的图象()A.沿x轴向左平移π8个单位B.沿x向右平移π8个单位C.沿x轴向左平移π4个单位D.沿x向右平移π4个单位解析:由y=3sin2x-π4得y=3sin2x-π8只需将y=3sin2x向右移π8个单位,选B.答案:B2.已知简谐运动f(x)=2sinπ3x+φ|φ|π2的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6,φ=π6B.T=6,φ=π3C.T=6π,φ=π6D.T=6π,φ=π3解析:依题意,周期T=2ππ3=6.又其图象经过点(0,1),∴1=2sinπ3×0+φ,即sinφ=12,又|φ|π2,∴φ=π6,故选A.答案:A3.(2012年浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1=cosx+1,再向左平移1个单位长度得y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1),故相应的图象为A.答案:A4.(2012年河北唐山一模)函数y=sin3x的图象可以由函数y=cos3x的图象()A.向右平移π6个单位得到B.向左平移π6个单位得到C.向右平移π3个单位得到D.向左平移π3个单位得到解析:因为y=sin3x=cosπ2-3x=cos3x-π2=cos3x-π6,所以只需将y=cos3x的图象向右平移π6个单位得到y=sin3x的图象,故选A.答案:A5.(2012年山东德州一模)已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0.两个对称轴间最短距离为π2,直线x=π6是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式为()A.y=4sin2x+π6B.y=-2sin2x+π6+2C.y=-2sinx+π3D.y=2sin2x+π3+2解析:由题意知T2=π2,所以T=π.则ω=2,否定C.又x=π6是其一条对称轴,因为2×π6+π3=2π3,故否定D.又函数的最大值为4,最小值为0,故选B.答案:B6.(2012年北京房山区一模)已知函数y=sin(ωx+φ)的图象如图所示,则ω=________,φ=________.解析:由函数图象可得T4=7π12-π3,所以T=π,则ω=2.又由2×π3+φ=π,所以φ=π3.答案:2π3利用五点作图法画三角函数图象的关键是准确找出五个关键点,在找五个关键点的过程中用到了“整体思想”,即把ωx+φ看作一个整体.这样得到的函数y=Asin(ωx+φ)的图象在一个周期内的“五点”横向间距必相等,均为T4,于是“五点”横坐标依次为x1=-φω,x2=x1+T4,x3=x2+T4…这样可以快速地求出“五点”坐标.在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点:一要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;二要注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;三是由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移的单位数应为|φω|而不是|φ|.已知函数f(x)=3sin12x-π4(1)求此函数的振幅、周期和初相;(2)用五点法作出函数的图象;(3)说明函数f(x)的图象由y=sinx的图象经过怎样的变换得到;(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.【解】(1)周期T=2πω=2π12=4π,振幅A=3,初相是-π4.(2)列表:xπ232π52π72π92π12x-π40π2π32π2πy=3sin12x-π4030-30描点、连线,如图所示:(3)把y=sinx图象上所有点向右平移π4个单位得到y=sinx-π4的图象,再把y=sinx-π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=sinx2-π4的图象,然后把y=sinx2-π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)即可得到f(x)=3sinx2-π4的图象.(4)令12x-π4=π2+kπ(k∈Z),得x=2kπ+32π(k∈Z),此为对称轴方程.令12x-π4=kπ(k∈Z)得x=π2+2kπ(k∈Z).对称中心为2kπ+π2,0(k∈Z).(1)用“五点法”作图应抓住四条:①将原函数化为y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)或y=Acos(ωx+φ)(A0,ω0)的形式;②求出周期T=2πω;③求出振幅A;④列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.(2)图象变换法①平移变换.沿x轴平移,按“左加右减”法则;沿y轴平移,按“上加下减”法则.②伸缩变换.ⅰ.沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的1ω倍(纵坐标y不变);ⅱ.沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变).(1)已知函数y=2sin2x+π3,①求它的振幅、周期、初相;②用“五点法”作出它在一个周期内的图象.(2)(2012年浙江)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:(1)①y=2sin2x+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.②令X=2x+π3,则y=2sin2x+π3=2sinX.列表,并描点画出图象:x-π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy=sinX010-10y=2sin2x+π3020-20(2)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cosx+1的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数y=cos(x+1)的图象,故选A.答案:(1)见解析(2)A确定y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的步骤(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT.(3)求φ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点(-φω,0)作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=π2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=3π2;“第五点”为ωx+φ=2π.(2012年湖南)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω0,0φπ2)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=f(x-π12)-f(x+π12)的单调递增区间.【思路启迪】第(1)问,由已知图象求出函数的周期,利用周期公式求得ω的值,然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值;第(2)问,利用两角和与差的三角函数和辅助角公式将其化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再将ωx+φ看做一个整体,利用y=sinx的单调区间,通过解不等式求得结果.【解】(1)由题设图象,知周期T=2(11π12-5π12)=π,所以ω=2πT=2.因为点(5π12,0)在函数图象上,所以Asin(2×5π12+φ)=0,即sin(5π6+φ)=0.又因为0φπ2,所以5π65π6+φ4π3,从而5π6+φ=π,即φ=π6.又点(0,1)在函数图象上,所以Asinπ6=1,即A=2.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).(2)g(x)=2sin[2(x-π12)+π6]-2sin[2(x+π12)+π6]=2sin2x-2sin(2x+π3)=2sin2x-2(12sin2x+32cos2x)=sin2x-3cos2x=2sin(2x-π3).由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.求三角函数的解析式的技巧求三角函数y=Asin(ωx+φ)+h的解析式的关键是解决四个数值A,ω,φ,h,其求解技巧是:A和h由函数图象的最高点、最低点确定,一般由函数的图象或是已知给出的图象与纵轴交点坐标可得;ω是由三角函数的周期确定,先由图象求出函数的周期T的值,再利用公式ω=2πT,求出ω的值;对于φ的求解,利用图象过特殊点,数形结合即可求得.本例就是一道标准的利用以上方法求解三角函数解析式的题目.(2012年陕西)函数f(x)=Asin(ωx-π6)+1(A0,ω0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设α∈(0,π2),f(α2)=2,求α的值.解:(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2,∴最小正周期T=π.∴ω=2.故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-π6)+1.(2)∵f(α2)=2sin(α-π6)+1=2,即sin(α-π6

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