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杯赛难点之三大原理抽屉原理基本题型-1-杯赛重难点之三大原理（一）【版块一】抽屉原理基本题型【知识点拨】：抽屉原理是三大原理中最抽象的一个原理，但是纵观近5年考试中出现的抽屉原理题目，大多是比较基本的题目，几乎没有用到复杂的构造抽屉，因此我们复习抽屉原理的时候，不追求很难的题目，但求把基本的题目做对。抽屉原理其实和行程问题一样，也有属于自己的三要素。行程问题中只要找到的了路程、速度、时间三者对应的关系，就找到了解题的钥匙，而抽屉原理的三要素，我们称之为，苹果、抽屉以及至少数。我们需要在每到题目中找到这三个量，只要能够准确判断出三个量，相信抽屉原理将不会再难倒你。一、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。二、抽屉原理的基本公式判断三个量苹果：多具体抽屉：少类别备注：谁相同者谁抽屉类型一：求至少数或者证明至少数均分思想：苹果÷抽屉=商„„余数至少数=商+1类型二：求苹果苹果至少=（至少数-1）×抽屉+1类型三：求抽屉（这个考察的非常少，了解一下）抽屉至多=（苹果-1）÷（至少数-1）备注：三个类型中，求至少数和苹果数，题目中都会出现“至少”，唯独求抽屉的时候会出现“至多”。杯赛难点之三大原理抽屉原理基本题型-2-【精讲专区】例1：教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．【解析】苹果：5名同学，抽屉：4个科目，至少数：25÷4=1„„11+1=2（个）根据抽屉原理，这5人至少有两个在做同一课业。备注：当题目要求说明或者证明的时候，我们只需计算出至少数即可。例2：把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？【解析】苹果：125本书抽屉：？至少数：4人抽屉最多为：（125-1）÷（4-1）=124÷3=41„„1所以抽屉最多有41个，即这个班做多有41人。例3：班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？【解析】苹果：？抽屉:50个小朋友至少数：2苹果至少：（2-1）×50+1=51（本）因此老师至少拿51本书，就能保证。例4：篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？【解析】苹果：？抽屉：相同的拿法至少数：2先算抽屉：如果水果相同：4种拿法如果水果不同：4×3÷2=6种拿法因此抽屉=10苹果=（2-1）×10+1=11（个）因此至少有11个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的【精练专区】【题型一】：求至少数练习1：6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？杯赛难点之三大原理抽屉原理基本题型-3-练习2：把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．练习3：数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样．练习4：光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？练习5：用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．练习6：向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？练习7三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．练习8：五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．练习9：在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？练习10：证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．杯赛难点之三大原理抽屉原理基本题型-4-【题型二】：求抽屉练习1：把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？练习2：某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一个学校．”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？练习3：100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.【题型三】：求苹果练习1：班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？练习2：有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子．请问：至少需要有几只鸽子？练习3：三年级二班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有的同学可以同时借两本书？练习4：海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间（包括140厘米到150厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到4个人的身高相同？练习5：一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？练习6：（第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．杯赛难点之三大原理抽屉原理基本题型-5-【答案专区】【题型一】1、【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511，112（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．2、【解析】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．3、【解析】属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样．4、【解析】一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”．这样，把367个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有2名同学的生日相同．5、【解析】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色．也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同．6、【解析】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为7303661364，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．7、【解析】方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．8、【解析】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，„„，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．9、【解析】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除．10、【解析】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差ab是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．【题型二】1、【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进1019个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．2、【解析】本题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有10个同学来自同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，则11231091236，因此最多有：1231124个学校(处理余数很关键，如果有125个学校则不能保证至少有10名同学来自同一个学校)或者（1123-1）÷（10-1）=124„„6所以有124所学校。杯赛难点之三大原理抽屉原理基本题型-6-3、【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于12个，求这个数.100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人（9人11个苹果，还有一人一个苹果），否则9×11＜100，所以只要分苹果的学生不多余9人就能使保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.答案为9.或者（100-1）÷（12-1）=9个【题型三】1、【解析】老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书．2、【解析】有10只鸽笼，每个笼子住1只鸽子，一共就是10只．要保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子．那么至少需要11只鸽子，这多出的1只鸽子会住在这10个任意一个笼子里．这样就有1个笼子里住着2只鸽子．所以至少需要11只鸽子3、【解析】把43名同学看作43个抽屉，根据抽屉原理，要使至少有一个抽屉里有两个苹果，那么就要使苹果的个数大于抽屉的数量．因此，“图书角”至少要准备44本课外书．4、【解析】陷阱：以前的题基本全是2个人的，而这里出现4个人，那么，就“从倍数关系选”。认真思考，此题中应把什么看作抽屉？有几个抽屉？在140厘米至150厘米之间（包括140厘米到150厘米）共有11个整厘米数，把这11个整厘米数看作11个抽屉，每个抽屉中放3个整厘米数，就要11333个整厘米数，如果再取出一个整厘米数，放入相应的抽屉中，那么这个抽屉中便有4个整厘米数，也就是至少找出33134个学生，才能找到4个人的身高相同．5、【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3×10=40分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3×（41-3）+1=115人.6、【解析】根据评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，在0～50分之间，1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出现．共