电磁场4.1-4.2概要

第4章稳恒磁场电磁场第4章稳恒磁场首先从安培力定律出发，引出计算磁通密度的毕奥-萨伐尔定律；利用该定律研究无限大真空中磁场的散度和旋然后导出无限大真空中磁偶极子的磁场、力矩和受力的表达式。度；第4章稳恒磁场把磁介质看成是无限大真空中由磁偶极子组成的区域，通过引入磁化矢量和磁场强度，得到稳恒磁场的两个基本方程和两个边界条件；从而写出稳恒磁场的边值问题，通过计算该边值问题得到稳恒磁场的大小和分布；最后，分析和计算磁场能量、导体的电感和磁场力。4.1真空中的稳恒磁场第4章稳恒磁场4.1真空中的稳恒磁场1I1C21RO2I2C2r1r1dr2dr图4-1-1两个载流回路之间的作用力4.1真空中的稳恒磁场4.1.1磁通密度无限大真空中两个稳恒电流回路之间相互作用力的大小和方向服从安培力定律。安培力定律表述如下：无限大真空中有两个通有稳恒电流的回路和回路(见图4-1-1)，回路上的电流元对回路上的电流元的作用力为(4-1-1)1C2C1C11dIr22dIr011212122321ddd4πIIRrRFr4.1真空中的稳恒磁场21R电流元和的方向分别是回路和回路上该点的电流方向；是由电流元指向电流元的矢量，；是真空磁导率，它是一个基本物理常量，具有确定的符号和数值，在国际单位制(SI)中，的数值是一个精确值：11dIr22dIr1C2C11dIr22dIr2121Rrr00704π10H/m4.1真空中的稳恒磁场在式(4-1-1)中，令矢量(4-1-2)称矢量为磁通密度，又称为磁感应强度。在国际单位制中，磁通密度的单位名称是特[斯拉]，符号是T。011212321dd()4πIRrRBrB4.1真空中的稳恒磁场式(4-1-2)称为毕奥-萨伐尔定律也称为毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律该定律描述了电流元在空间任意点产生磁场的大小和方向，它说明，电流元产生的磁通密度大小与场点到电流元的距离的平方成反比。•磁通密度B与电场强度E一样，都是电磁场理论中的基本物理量。•空间中的磁通密度可用特斯拉计测量得到。4.1真空中的稳恒磁场利用式(4-1-2)，式(4-1-1)可写成(4-1-3)此式称为安培力公式。21222ddd()IFrBr由上式可见，电流元会受到力的作用，这个力是由电流元所在处的磁通密度B所施加的。22dIr与静电作用一样，这种作用力也是通过一种特殊的介质来传递的，这种特殊的介质称为磁场。4.1真空中的稳恒磁场当产生磁通密度B的电流元是体分布时，式(4-1-2)中的电流可用电流密度J代替。设载流导线横截面的面元是，因线元的方向与该处电流密度J同方向，所以1IdrdSd(d)d(dd)dIJSSrVrrJJ4.1真空中的稳恒磁场于是毕奥-萨伐尔定律的一般形式可表示成(4-1-4)式中，V是电流分布区域，是源点(电流元)位置矢量，r是场点位置矢量。03()()()d()4πVVJrrrBrrrrrdVJ4.1真空中的稳恒磁场有些情况下，电流分布可看作是面分布，此时可用面电流元来代替体电流元，相应地，毕奥-萨伐尔定律成为(4-1-5)式中S是面电流分布区域，K是面电流密度。dSKdVJ03()()()d()4πSSKrrrBrrrr4.1真空中的稳恒磁场需要指出，当电流是线分布时，毕奥-萨伐尔定律表达式中的积分区域必须是整个电流闭合回路，因为稳恒电流必须以闭合回路的形式才能存在。4.1真空中的稳恒磁场4.1.2磁通密度的散度和旋度为了确定一个矢量场，需要同时知道它的散度和旋度。下面从毕奥-萨伐尔定律出发，分别求出BB散度旋度4.1真空中的稳恒磁场1.磁矢位的引入由毕奥-萨伐尔定律(见式(4-1-4))，可知(4-1-6)01()()d()4πVVBrJrrrr4.1真空中的稳恒磁场需要注意，式中的哈密顿算子只对r起作用，对不起作用。利用矢量微分公式(是常矢量)，上式被积函数可变换成rffCCC1JrJrrrrr4.1真空中的稳恒磁场这样式(4-1-6)就可写成(4-1-7)00()()d()()d()4π4πVVVVJrJrrBrrrrrr令[Wb/m](4-1-8)0d4πVVJrrArr-r4.1真空中的稳恒磁场则式(4-1-7)可表示为(4-1-9)矢量A称为磁矢位。BA磁通密度等于磁矢位的旋度。4.1真空中的稳恒磁场2.磁通密度的散度根据矢量微分公式，由式(4-1-9)，可得磁通密度的散度方程(4-1-10)0F0B=A磁通密度的散度为零。4.1真空中的稳恒磁场在磁场中任作一闭曲面S，利用散度定理，上式对应的积分形式为(4-1-11)式中V是闭曲面S所包围的区域。dd0SVVBSBÑ磁场线是无头无尾的闭合线。4.1真空中的稳恒磁场3.磁通密度的旋度由式(4-1-9)，利用矢量微分公式，得(4-1-12)2B=AAA由0A20AJr4.1真空中的稳恒磁场所以得(4-1-15)0BJ稳恒电流的磁场是有旋场，磁场线是环绕着传导电流的闭曲线。此式就是安培环路定律的微分形式，安培环路定律也简称为安培定律。4.1真空中的稳恒磁场利用斯托克斯定理，式(4-1-15)也可用积分形式来表达。在磁场中任作一条闭曲线C，B在C上的线积分为(4-1-16)式中S是闭曲线C所围成的曲面。0dddCSSBrBSJSÑ4.1真空中的稳恒磁场设穿过曲面S的电流代数和为I,C的正方向和电流I的参考方向成右手螺旋关系，则式(4-1-16)可写成(4-1-17)此式是安培环路定律的积分形式。0dCIBrÑ4.1真空中的稳恒磁场4.真空中稳恒磁场的物理图像通过本节内容，我们看到真空中稳恒电流的磁场满足以下两点：⑴稳恒磁场的基本方程是和，稳恒磁场是无散的有旋场。0B0BJ⑵用磁矢位A可以描述磁通密度，。磁矢位满足以下两个方程和。BA20AJ0A4.1真空中的稳恒磁场稳恒磁场中的三个矢量J，A，B在场中如何分布？为了从概念上大致了解，可借助于哈密顿算子来说明。我们把算子当成一个矢量，利用标积和矢积的定义来分析：….4.1真空中的稳恒磁场另一方面，22利用，说明是标积，从而B既垂直于又垂直于ABA20AJA和J平行0B和B垂直0BJJ既垂直于又垂直于B4.1真空中的稳恒磁场综合起来看，磁场的物理图像是：•磁场线(B线)是闭合线，它环绕电流线(J线)并与电流线垂直交链；•A线也是闭合线(因)，它的形状与电流线相似，平行于电流线，垂直于磁场线。0A图4-1-2绘出了电流产生的B线(实线)和A线(虚线)的分布图。4.1真空中的稳恒磁场图4-1-2电流的B线和A线4.1真空中的稳恒磁场4.1.3磁场求解例例4.1.1求无限大真空中长直载流细导线的磁矢位。4.1真空中的稳恒磁场解设长直载流细导线位于圆柱坐标系的z轴，电流I与同方向。由安培环路定律，圆环上磁场为OzzedCIHr:=C002πIHBee而ddzzzAABAee4.1真空中的稳恒磁场所以0dd2πzIA两端积分，得000dd2πzIA4.1真空中的稳恒磁场即(4-1-18)00ln+πzAreAr是与场点无关的常矢量，在用式计算磁场时，常矢量不起作用。0ArB=A0Ar4.1真空中的稳恒磁场下面分析、求解在理论和实际中都非常重要的载流圆环线圈的磁场。例4.1.2无限大真空中有一用细导线绕成的圆环线圈，线圈中的电流是I，线圈半径为a。求空间任意点的磁矢位。4.1真空中的稳恒磁场解建立圆柱坐标系，如图4-1-3所示。Oz图4-1-3载流圆环线圈4.1真空中的稳恒磁场在圆环线圈C上任取一点，在空间任取一点，这两点的位置矢量分别为,,Qah,,Pzcossinxyzaahreeecossinxyzzreee从而，有dsincosdxyaree122222cosazharr4.1真空中的稳恒磁场代入磁矢位表达式(4-1-8)，得(4-1-19)0π0222πd4πsincosd4π2cosCxyIIaazharArrreeÑ4.1真空中的稳恒磁场下面化简式(4-1-19)π0222πsincosd4π2cosIaazhaeeA式中和应视为常矢量。ee4.1真空中的稳恒磁场由上式可知，即A与坐标分量无关，于是可令，上式变成对称区间上的积分A00π0222πsind4π2cosIaazhaAeπ0222πcosd4π2cosIaazhae4.1真空中的稳恒磁场上式右端第一个被积函数是关于的奇函数，它在对称区间上的积分等于零；第二个被积函数是关于的偶函数，它在对称区间上的积分等于半区间上积分的2倍。从而π02220cosd2π2cosIaazhaAe4.1真空中的稳恒磁场当场点位于对称轴上时()，上式的积分为零，即(4-1-21),,Pz0,,z0A04.1真空中的稳恒磁场以下假定坐标分量。在式(4-1-20)中，令，得(4-1-22)0π2π22022202sin1dπ4sinIaazhaAe4.1真空中的稳恒磁场设(4-1-23)224akazh由恒等变换22222222sin111sin2kkk式(4-1-22)成为(4-1-24)201π2IakKkEkkAe4.1真空中的稳恒磁场式中(4-1-25)和(4-1-26)分别称为第一类全椭圆积分和第二类全椭圆积分。可见，载流圆环线圈的磁矢位仅有周向分量，这是轴对称磁场的重要性质。π2220d1sinKkkπ22201sindEkkA第4章稳恒磁场4.2磁偶极子4.2磁偶极子设电流集中分布在一个区域中，当场点到这个区域的距离远大于区域本身的尺寸时，这个载流区域就可以看作是一个磁偶极子。例如一个载流线圈从远处看就是一个磁偶极子。磁偶极子是介质磁化、磁法选矿、磁粉探伤、磁共振成像、原子物理学等许多领域的重要模型。4.2磁偶极子4.2.1磁偶极子的磁矢位设磁偶极子位于无限大真空中。我们首先分析当磁偶极子是一个载流线圈时，它在远处产生的磁矢位。如图4-2-1所示，选取坐标原点O位于载流线圈C附近，设线圈中的电流是I，则线圈上点Q处的电流元为。这样，由式(4-1-8)可写出远处场点P处的磁矢位为ddVIJrrr0d4πCIrArrrÑ4.2磁偶极子图4-2-1真空中的磁偶极子4.2磁偶极子利用几何学中的余弦定理和条件，得rr121222222rrrrrrrrr再利用二项式定理，得(4-2-2)122311211rrrrrrrrrr4.2磁偶极子这样点P处的磁矢位可写成(4-2-3)003dd4π4πCCIIrrArr+rrr蜒上式右端的第一个线积分。利用矢量积分公式(见附录A.3.3)(