金融工程 第八章 布莱克-斯科尔斯-莫顿模型

第14章Black-Scholes-Merton模型金融工程内容提纲股票价格和收益的分布性质波动率布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程风险中性定价布莱克-斯科尔斯定价公式隐含波动率股息对期权定价的影响2金融工程第八章金融工程第八章3维纳过程：布朗运动假设股票价格的波动为布朗运动（维纳过程），在离散情况下，则为随机游走序列。：股票价格在一个很短的时间内的变化。μ：股票的年收益率期望；σ：股价的年波动率。dz基本维纳过程：(1)，其中dz代表影响股票价格变化的随机因素标准正态分布；(2)在任何两个不相重叠的dt内，变化量dz相互之间独立（方差可加）。SdzSdtdSdS)1,0(~NdtdzdzdtSdS马尔科夫过程与维纳过程性质1，dz本身服从正态分布，并且dz的期望值=0，dz的方差=dt；性质2意味着变量z服从马尔科夫过程。马尔科夫过程：只有标的变量的当前值与未来的预测有关，变量的历史以及变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。马尔科夫过程与弱有效市场一致：股票的当前价格包含过去价格的所有信息。金融工程第八章414.1股价的对数正态分布性质令股价为S定义：为股票每年的收益率期望；为股票价格每年的波动率在Dt时间段股票收益(DS/S)的均值为Dt，标准差为，股票收益服从正态分布：代表期望为m，方差为v的正态分布。2~,SttSDDD金融工程第八章5,mvtD对数正态分布：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么我们就定义这个随机变量本身服从对数正态分布：lnST服从正态分布，则ST服从对数正态分布。62200220lnlnln~,2orln~ln,2TTTSSSTTSSSTT金融工程第八章对数正态分布)1()(var)(22200TTTTTeeSSeSSE例14-2P2127金融工程第八章14.2收益率的分布若x代表从0~T之间以连续复利计的收益率，则金融工程第八章800221=ln~,2xTTTSSeSxTSxT14.3预期收益率µ股价在T时刻的期望值为S0eT；在一个短期Dt内股票价格变化百分比的期望值是Dt；在所有数据覆盖的区间上，股票的连续复利收益率的期望为–2/2；Dt=E(DSi/S)，在每个小区间上股票价格的平均收益率。金融工程第八章9201()=E(ln)=-2TSExTS14.4波动率volatility股票的波动率是用来度量股票提供收益的不确定性；股票价格的波动率可以被定义为股票在1年内按连续复利所提供收益率的标准差。在Dt时间内股票价格百分比变化（收益率）的标准差为：如果股价为$50，波动率为30%，对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于：10tD50*(30*1/52)50*4.16%2.08美元金融工程第八章14.4.1历史数据法1、在时间长度为t年内，每个区间结束时，观察到股价为S0，S1，...，Sn。2、计算第i个区间结束时的股票收益率:3、计算ui的标准差s;4、由（14-2）得：ui的标准差为，因此有：11uSSiiiln1tsˆt金融工程第八章2122111()111()1(1)niinniiiisuunsuunnn14.4.2交易日天数与日历天数交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高；因此，由历史数据计算波动率或期权期限时，采用的是交易日天数（252天）而不是日历天数；金融工程第八章1214.5布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念背景：1973年，美国芝加哥大学教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。斯科尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。13金融工程第八章基本思路：构建无风险交易组合构建：可由期权与标的股票所组成的无风险组合，组合收益率等于无风险利率r。原因：①股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素（股价变动）的影响；②在任意短时期内，衍生品价格与股价完全相关性；③在短时间内，股票盈亏可抵消期权带来的盈亏；例：假设△c=0.4△S，可构造无风险交易组合：0.4只股票的多头；一个看涨期权的空头；14金融工程第八章15金融工程第八章假设：金融工程第八章161、股票价格遵循几何布朗运动，其中u和为常数；2、可以卖空证券，并且可以完全使用所得收入；3、无交易费用和税收，所有证券均可无限分割；4、在期权期限内，股票不支付股息；5、不存在无风险套利机会；6、证券交易为连续进行；7、短期无风险利率r为常数，并对所有期限都是相同的。：zStSSDDDzSSftSSftfSSffDDD)21(222214.6布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导（1）由于股票价格S遵循几何布朗运动，在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S：（2）设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f是S和t的函数，根据伊藤引理可得，在一个小的时间间隔中，f的变化值△f为：17金融工程第八章14.6布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导（3）为了消除维纳过程（风险源）△z，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位股票多头的组合。令代表该投资组合当前的价值，则：在时间后，该投资组合的价值变化为：代入△f和△S表达式，可得金融工程第八章18SfffSStDffSSDDDtSSftfDD)21(2222DtSSftfDD)21(2222中不含任何风险源，因此组合在短期∆t内，必须获得无风险收益，即trDD代入上式可得tSSffrtSSftfDD)()21(2222化简为rfSfSSfrStf222221这就是著名的布莱克——斯科尔斯——默顿微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。金融工程第八章1914.6布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导14-16边界条件keyboundaryconditions边界条件定义了衍生产品在S和t的边界上的取值。欧式看涨期权的关键边界条件为：f=max（ST-K，0）当t=T时；欧式看跌期权的关键边界条件为：f=max（K-ST，0）当t=T时；例14-5，验证B-S-M微分方程20金融工程第八章14.7风险中性定价布莱克－斯科尔斯——默顿微分方程不包含任何影响投资者风险偏好的变量（µ）。方程中出现的变量包括股票的当前价格、时间、股票价格波动率和无风险利率，它们均与风险偏好无关。这意味着，无论风险偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。风险中性定价原理：①假定标的资产的期望收益率为无风险利率（即假定u=r）；②计算衍生证券的期望回报；③用无风险利率对期望回报贴现。21金融工程第八章应用于股票远期合约远期合约多头，到期时刻的价值：远期合约在时间0的价值：其在风险中性世界里T时刻的期望价值以无风险利率贴现后的值。金融工程第八章22对右边求值是一种积分过程，结果为：其中，012()()rTcSNdKeNd2012021ln(/)(/2)ln(/)(/2)SKrTdTSKrTddTTN（x）为标准正态分布变量的累积概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分布函数特性，有。)(1)(xNxN这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。[max(,0)]rTTceESK2314.8布莱克-斯科尔斯定价公式金融工程第八章14-20金融工程第八章24N(∞)=1；N(-∞)=0[max(,0)]TESK[max(,0)]rTTceESKE风险中性定价（1）在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其中：表示风险中性世界里的期望值。（2）根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：25金融工程第八章金融工程第八章26欧式看涨期权风险中性世界里期权到期时回报的期望值：为风险中性世界中的期望值，欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利率贴现后的现值，E[max(,0)]TSKE[max(,0)]rTTceESK[max(,0)]max(,0)()()()()()TTTTTTTTTTTTKKKESKSKfSdSSKfSdSSfSdSKfSdSST概率密度金融工程第八章2722020ln~[ln(),]2ln,,(ln)ln()2~(0,1)TTTSSrTTSmWsTSmESSrTWN随机变量W的概率密度函数h(W)为：221()2WhWe令其中金融工程第八章282222lnlnlnlnln2lnln()22ln2ln[max(,0)](ln)(ln)(ln)(ln)()()()()1()()()21ln()()2()TSTTTTTKKsWmKmKmssWsWmKmKmsssWsmKmssmESKegSdSKgSdSehWdWKhWdWeedWKhWdWmKeedWKNsehW0202200lnln()2()ln()ln()22KmssSrTSrKdWKNTSSrrKKeNKNTT理解BSM定价公式I29fNdS1可以用股票和负债复制期权。可以证明是构造无风险组合∏时的△，是复制投资组合中股票的数量，S0N(d1)就是股票的市值。Ke-rTN(d2)是复制交易策略中负债的价值。因为主要参数都是时变的，因此这种复制策略是动态复制策略，必须不断调整相关头寸的数量。在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于K的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率；KN(d2)是执行价格乘以其被支付的概率，即期望值。S0N(d1)erT=STN(d1)是一个在STK时，等于ST，在其他情形等于0的变量，在风险中性世界的期望值。因此，这个公式就是期权到期时期望回报值的贴现。金融工程第八章30012[()K()]rTrTceSNdeNd理解BSM定价公式Ⅱ根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系c+Ke-rT=p+S0，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：201()()rTpKeNdSNd金融工程第八章31无收益资产的欧式看跌期权的定价公式2012021ln(/)(/2)ln(/)(/2)SKrTdTSKrTddTT14-21B-S-M公式的性质（1）当股票价格S0很大，欧式看涨期权几乎肯定会执行，看涨期权价格：S0-Ke-rT，欧式看跌期权价格趋于0。（2）当股票波动率接近于0，股票价格几乎无风险，T时刻股票价格会增长到S0erT，看涨期权的回报为max（S0erT–K，0）。以无风险利率r贴现，看涨期权价格：e-rTmax（S0erT-K,0）=max（S0–Ke-rT,0）看跌期权的价格总是max(Ke-rT–S0,0)（3）当S0接近于0时，c