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第九章奇异期权期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避险的需要不断推动新工具的产生。本章我们将介绍其中一些常见的新型期权，分析其定价和保值机制。这些思路和方法将有助于我们理解市场中不断创新的期权工具。第一节奇异期权概述到目前为止，我们所涉及的主要是标准的欧式或美式期权，比这些常规期权更复杂的衍生证券常常被叫做奇异期权（ExoticOptions），比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废，等等。大多数的奇异期权都是在场外交易的，往往是金融机构根据客户的具体需求开发出来的，其灵活性和多样性是常规期权所不能比拟的。但是相应地，奇异期权的定价和保值往往也更加困难，奇异期权对模型设定正确与否的依赖性常常很强，合约中潜在的风险通常比较模糊，很容易导致非预期的损失，无论是用标的资产进行保值还是用相应的期权进行保值（在后面我们将会看到，这种保值方法被称为静态保值），都需要很小心。由于奇异期权的多样性，要对它们进行完全的描述是不可能的，我们只能介绍一些常见的奇异期权，阐述相关的定价和保值技术，为读者提供一个借鉴，当遇到性质相同的问题时，可以加以利用。本节的主要内容是：对奇异期权的主要类型进行大致的区分，以帮助读者更好地理解奇异期权。这些类型包括：分拆与组合；弱路径依赖；强路径依赖；时间依赖、维数和阶数。必须注意的是，因为奇异期权变化很多，本节内容并不能包括奇异期权的所有特点。一、分拆与组合最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到我们所需要的回报。这一方法是金融工程的核心之一。分拆和组合的思想还可以用在为奇异期权定价上。通过对奇异期权到期时回报的数学整理，常常可以把期权分成常规期权、简单期权和其他金融资产的组合，从而大大简化期权定价过程。在后文中我们将看到一些具体的例子。二、弱式路径依赖所谓的路径依赖（PathDependence）性质是指期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖（WeakPathDependence）和强式路径依赖（StrongPathDependence）两种。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。美式期权（或者更一般的说，具有提早执行特征的期权）就是弱式路径依赖型的期权。当期权到期时，期权持有者是否仍持有期权要看他是否已经执行了期权，或者说要看标的资产价格遵循的路径，但是在定价模型中，我们并不需要增加独立的状态变量，因此美式期权路径依赖的特征是比较弱的。导致弱式路径依赖的第二个最常见的原因是障碍(Barrier)。当标的资产价格在事先确定的时间内触及某个预先确定的障碍水平时，障碍期权（敲入或敲出期权）就可能被敲出（作废）或是敲入（开始生效）。这种期权显然是路径依赖的，但是因为我们仍然只需要解一个以资产价格和时间为变量的偏微分方程，它仍然只是弱式路径依赖的。三、强式路径依赖与弱式路径依赖对应的强式路径依赖，在奇异期权中也相当常见。这些期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征，也就是说我们不能将期权价格简单写作,fSt，我们还需要获得资产价格路径的更多信息。期权价值是原先的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的导数。在现实生活中存在着许多这样的期权合约，亚式期权是其中的典型范例，其损益要受到标的资产在一定时间内价格平均值的影响。我们将在本章中应用一些具体例子来说明如何将强式路径依赖期权纳入到一般的布莱克－舒尔斯分析框架当中去。四、时间依赖奇异期权的一种变化形式是在以上所述的所有特征中加入时间依赖（TimeDependence）的特性。比如说美式期权只能在特定的一段时间之内提前执行，如百慕大期权；敲出期权的障碍位置也可以随着时间而不同，每个月都可以设定一个比上个月更高的水平。或者我们可以想象一个敲出期权，其障碍只在每个月的最后一星期有效。这些合约都可以称作是时间上非均匀的（Time-inhomogeneous）。这些变化使得期权合约更加丰富，也更符合客户和市场的特殊需求。五、维数维数（Dimensions）指的是基本的独立变量的个数。常规期权有两个独立变量S和t，因此是二维的。弱式路径依赖期权合约和那些除了不是路径依赖之外其他条件都与之完全相同的期权合约的维数相同，比如一个障碍期权和与之相应的常规期权都只有两个变量，都是二维的。对于这些合约来说，资产价格这个变量的作用和时间变量的作用是彼此不同的，因为在布莱克－舒尔斯方程中，包含了对资产价格的二阶偏导而只有对时间的一阶偏导。在两种情况下，会出现三维甚至多维。第一种情况出现在我们有其他随机源的时候，比如期权中有多个标的资产。假设有一个期权，要取两种股票价格的最大值。这两种标的资产都是随机的，每种都有自己的波动率，它们之间还有相关关系。在布莱克－舒尔斯方程中，我们将会出现对每种资产价格的二阶偏导，我们把这叫做存在1S和2S的扩散过程，这就出现了三维问题。三维的第二种形式是强式路径依赖的合约。比如一种新的独立变量是路径依赖量（比如亚式期权中的价格平均数）的一个衡量，期权价值是依赖于这个量的。这样，期权价格方程中需要再增加新的变量，但这时期权价格对这个新变量的导数只是一阶的。这样这个新的变量看起来更像是一个象时间一样的变量，这与多标的资产的情况显然是不同的。六、期权的阶数奇异期权最后的一个分类特征是期权的阶数，但这不仅是一种分类特征，还引入了建模的问题。常规期权是一阶的，其损益仅直接取决于标的资产价格，其他的如路径依赖期权，如果路径变量直接影响期权价格的话，它也是一阶的。高阶指的是那些期权损益和价值取决于另一个（些）期权的价值。最典型的二阶期权的例子是复合期权。比如一个看涨期权给予持有者购买一个看跌期权的权利。复合期权在1t时刻到期，而作为其自变量的那个标的期权则在更迟的一个时刻2t到期。从实际的角度来看，高阶期权的存在提出了一些重要的建模问题：复合期权的损益取决于标的期权的市场价值而非理论价值。但是我们对两阶期权都要使用理论模型，这时高阶期权对模型正确与否就非常敏感，需要很小心地处理。我们在第七章中所讨论的那些模型假设问题在这时就非常重要。第二节障碍期权一、障碍期权的分类障碍期权（BarrierOptions）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平。通常有许多种不同的障碍期权在场外市场进行交易，它们一般可以归为两种类型：1.敲出障碍期权（Knock-outOptions）：当标的资产价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被“敲出”）；如果在规定时间内资产价格并未触及障碍水平，则仍然是一个常规期权。2.敲入障碍期权（Knock-inOptions）：正好与敲出期权相反，只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在（即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作废。在此基础之上，我们可以通过考察障碍水平与标的资产初始价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：1.如果障碍水平高于初始价格，则我们把它叫做向上期权。2.如果障碍水平低于初始价格，则我们把它叫做向下期权。将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权（Down-and-outCall）、向下敲入看跌期权（Down-and-inPut）和向上敲出看涨期权（Up-and-outCall）等。障碍期权推出初期，交易量不大，很少人能很熟练地为它们定价。但现在，障碍期权的市场容量急剧扩大，人们还根据市场需求对它们作了进一步的变形。现在，也许只有那些在以上这些基本的障碍期权之上增加了许多新的特殊交易条款的期权才能被叫做奇异期权了。这些条款包括：1.障碍水平的时间依赖性，即随时间不同障碍水平将发生变化，比如障碍水平从某一个位置开始，逐渐上升。通常来说，障碍水平会是一个时间的分段常数函数（即在一段时间之内维持一个固定的水平，之后发生变化再维持一个水平）。其中的极端例子是被保护或是部分障碍期权（ProtectedorPartialBarrierOptions）。在这类期权中，障碍是间歇性的，在一段特定的时间内，障碍会完全消失。其中又可以分为两类，一种是在障碍有效的时间内，只要资产价格处于障碍水平之外，障碍条件就被引发；第二种则是只有资产价格在有效时间内越过障碍，才被引发，如果价格已经位于障碍水平之外则不会引发。2.双重障碍(DoubleBarrier)：期权条款中包含一个障碍上限和障碍下限。上限高于现价，而下限则低于现价。在一个双重敲出期权中，如果任何一个障碍水平被触及，期权就作废。在一个双重敲入期权中，规定时间内价格至少要达到其中一个障碍水平期权才可有效。我们还可以想象其他的情况：一个障碍水平是敲入，而另一个则是敲出。到期时，这个合约可能是一个敲入或是敲出的期权的回报。3.多次触及障碍水平（RepeatedHittingoftheBarrier）：双重障碍期权可以进一步变得更复杂：有一类期权要求在障碍条件被引发之前，两重障碍水平都要被触及。实际上当其中一个障碍水平第一次被触及，这个合约就变成了一个常规的障碍期权，因此，这种期权可以看成一个在较低的障碍水平上的向上期权和一个在较高水平上的向下期权之和。4.障碍水平的重新设定：这种期权叫做重设障碍期权（Resetbarrier）。当触及到障碍水平的时候，合约变成另一个不同障碍水平的障碍期权。由于如果在规定时间之内障碍被触及的话，我们就会得到一个新的障碍期权，而如果在一定时间之后被触及，则仍然是常规期权，在此意义上，这类合约可以看作是依赖于时间的。和这类合约相关的一类期权是上卷期权（Roll-up）和下卷期权（Roll-down）。这类期权开始时是常规期权，但如果资产价格达到某一事先确定的水平，就变为一个障碍期权。比如，一个上卷看跌期权，如果上卷水平达到，合约就变成一个向上敲出看跌期权，上卷价格就是障碍看跌期权的执行价，相应的障碍水平则是事先确定好的。5.外部障碍期权（OutsideBarrierOptions）：外部或称为彩虹障碍期权（RainbowBarrierOption）的回报特征取决于第二种标的资产。这样这个期权中的障碍水平可能被一个资产价格的变动触发，而期权的回报则取决于另一种资产价格。这类产品显然属于多因素合约。6.提前执行的可能性：除了以上对障碍的多种创新之外，还可以在障碍期权中加入美式提前执行的条款，这时合约中一定要列明如果合约提前执行的话，期权回报将如何。7.部分折扣（Rebate）：有时障碍期权合约中会规定，如果触及障碍水平，可以部分退款（折扣）。这常常发生在敲出期权的情况下，这时这部分退款可以看作是对失去的回报部分的缓冲。这部分退款可以在障碍被引发时或是到期时才支付。二、障碍期权的性质从障碍期权的基本分析中我们可以看到，障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。比如，一个向上敲出看涨期权在到期时同样支付max,0SX，除非在此之前资产交易价格达到或超过障碍水平H。在这个例子中，如果资产价格到达这个价位（显然是从下面向上达到），那么该期权敲出。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息。这和我们在后面将看到的那些强式路径依赖的期权如亚式期权等是不同的。关于路径的信息不会成为我们定价模型中的一个新增独立变量，如果障碍水平没有被触发，障碍期权到期时的回报仍然和常规期权是相同的。因此障碍期权是属于弱式路径依赖。障碍期权受欢迎的主要原因在于：它们通常比常规期权便宜，这对那些相信障碍水平不会（或会）被引发的投资者很有吸引力。而且，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流