10.2平面简谐波方程

上页下页结束返回第十章波动和声§10.2平面简谐波方程一、平面简谐波方程二、平面简谐波方程的多种形式上页下页结束返回第十章波动和声§10.2平面简谐波方程一、平面简谐波方程即：当波源作简谐振动时，介质中各质点也都在作简谐振动时所形成的波称为简谐波。简谐波是一种最简单，最基本的波。波面为平面的简谐波称为平面简谐波。1、简谐波的定义：简谐振动在介质中的传播所形成的波就叫简谐波.yxvAAOPx上页下页结束返回第十章波动和声y0=Acosty0表示振动方向上的位移，A是振幅，是角频率或叫圆频率。2、平面简谐波方程设有一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为v,假设坐标原点O处质点的振动方程为yxvAAOPx上页下页结束返回第十章波动和声yxvAAOPx在波传播方向上取一质元P,当O点的振动传到P点时，需要的时间为，P点振动比O点晚振动了的时间，vxvx此式是沿x轴正方向传播的平面简谐波的表达式，称为平面简谐波的运动学方程（波函数）。tcosAyO如图，因设O点振动方程为)(cosvxtAy所以P点的振动方程为上页下页结束返回第十章波动和声yxvAAOPxtcosAyO如图，设O点振动方程为3、沿x轴负方向传播的简谐波方程故P点的振动方程为：)(cosvxtAy在波传播方向上取任一质元P，P点振动比O点早振动了的时间vx此式是沿x轴负方向传播的平面简谐波的运动学方程（波函数）上页下页结束返回第十章波动和声从形式上看：波动是波形的传播.从实质上看：波动是振动的传播.x前是负号表示波沿x轴正方向传播，称为右行波；x前是正号表示波沿x轴负方向传播，即为左行波。以上得到了简谐波的两个运动学方程)(cosvxtAy)(cosvxtAy对于波动：上页下页结束返回第十章波动和声若坐标原点的振动方程为)cos(tAy0平面简谐波波函数为vxAtcosyvxAtcosy或：平面简谐波的一般表达式])(cos[vxtAy负（正）号代表向x正（负）向传播的简谐波.上页下页结束返回第十章波动和声上式位移y既是t的函数，又是x的函数(1)当x一定时，令x=x0表达式变成y-t关系，是表示x0点的振动方程.TtyA-AO)(cos0vxtAyX0处的相位比原点（x=0）点落后vx04、讨论)(cosvxtAy所以式反映了介质中各质点的运动规律.)(cosvxtAy上页下页结束返回第十章波动和声(2)t一定这时,y仅为x的周期函数.当t=t0时表达式变成y–x关系，表达了t=t0时刻空间各点的位移分布——波形图.yxOt时刻的波形曲线)(cos0vxtAy上页下页结束返回第十章波动和声(3)x、t均变])(cos[),(vxtAtxy表示任意质点、任意时刻的波形表明：各质点各自振动，波形向前传播.xyx1xy1t时刻t+t时刻tvxΔΔx2如图：),Δ(),(21xttyxty上页下页结束返回第十章波动和声因振动频率不变，所以这两点相位相同.即]Δ[)(21vxttvxt）（整理得：vtxxΔ12v就是波形向前传播的速度（波速），也是相位的传播速度，所以也称v为相速.波数的定义：2π长度上波的数目。相速（波速）：相位传播的速度：π2vk令波数上页下页结束返回第十章波动和声Tvπ2波长波速与频率之间的关系为波长——描述了波在空间的周期性频率——描述了波在时间上的周期性通过波速v联系起来上页下页结束返回第十章波动和声二、平面简谐波方程的多种形式利用π2π2TvvTπ2vk因此下述几式等价：上页下页结束返回第十章波动和声])(cos[),(vxtAtxy])(π2cos[),(xtAtxy]cos[),(kxtAtxy])(π2cos[),(xTtAtxy上页下页结束返回第十章波动和声例1.有一列向x轴正方向传播的平面简谐波，它在t=0时刻的波形如图所示,其波速为v=600m/s.试写出简谐波运动学方程.x/my/m512.Ov上页下页结束返回第十章波动和声由波形图知：原点处质点的振动方程为解:1s2524600v-1sradπ50π2)π50cos(50tyt=0时，y0=0,20cos50y=5mA24m=由波形图得出：上页下页结束返回第十章波动和声运动方程为)2ππ50cos(50ty]2π)600(π50cos[5xtyx/my/m512.Ov20sin50y上页下页结束返回第十章波动和声例2.以y=0.040cos2.5tm的形式作简谐振动的波源，在某种介质中以100ms-1的速率传播。(1)求平面简谐波的运动学方程（波函数）；(2)求在波源起振后1.0s、距波源20m处质点的位移、速度和加速度。解：(1)以波源为原点、传播方向为x轴正方向根据题意：A=0.040m，=2.5rads1，v=100ms1)(cosvxtAy波函数为m)()100(π5.2cos040.0xty所以上页下页结束返回第十章波动和声(2)在x=20m处质点的振动方程为0.04mπ2cos040.0)100201(π5.2cos040.0)10020(π5.2cos040.0ty)10020(π5.2cos040.0)100(π5.2cos040.0txty在波源起振后1.0s时的位移为上页下页结束返回第十章波动和声速度为0smπ0.2sin040.0π5.2)20.0(π5.2sindd1-tAtyv加速度为2-2-2222sm5.2smπ0.2cos040.0)π5.2()20.0(π5.2cosddtAtya式中负号表示加速度的方向与位移的正方向相反。上页下页结束返回第十章波动和声例3有一平面简谐波，波源（坐标原点）按y=Acos(t+)规律振动。已知A=0.10m，T=0.50s，=10m，(1)写出此平面简谐波的运动学方程（波函数）；(2)求波线上相距为2.5m的两点的相位差；(3)假如t=0时处于坐标原点的质点的振动位移为y0=+0.050m，且向平衡位置运动，求初相位，并写出平面简谐波的运动学方程（波函数）。解(1)运动学方程为])(π2cos[])cos[xTtAvxtAy（由题意知：A=0.10m，=10m，s5.0Tm)(])100.2(π2cos[10.0xty所以运动学方程为上页下页结束返回第十章波动和声(2)两点间相位差2π105.2π2212])2t[])1t[Δxxxvxvx（（上页下页结束返回第十章波动和声(3)将t=0和y=+0.050m代入振动方程得0.050=0.10cos由题意知，初始时刻位移为正值，向平衡位置运动，v=-Asin0,因此sin0所以取3π波函数应写为m)](3π)100.2(π2cos[10.0xty于是cos=0.50，=353π或上页下页结束返回第十章波动和声例4一平面简谐波沿ox轴正方向传播，已知振幅A=1.0m,T=2.0s,λ=2.0m.在t=0时坐标原点处的质点在平衡位置沿0y轴正向运动.求：(1)波的运动方程；(2)绘出t=1.0s时的波形图；(3)x=0.5m处质点的振动方程并作图.上页下页结束返回第十章波动和声])(π2cos[xTtAymxty]23π)0.20.2(π2cos[232cos0或Ay23π取0sin0sinAdtdy又解(1)写出波的运动方程的标准式oyxt00时已知上页下页结束返回第十章波动和声(2)求t=1.0s时的波形图]π2πcos[)0.1(xyt=1.0s时波形方程0m/ym/x2.01.0-1.0时刻波形图s0.1t]2π)0.20.2(π2cos[0.1xtyxπsin(m)上页下页结束返回第十章波动和声(3)x=0.5m处质点的振动方程并作图]2π)0.20.2(π2cos[)0.1(xtyx=0.5m处质点的振动方程]πcos[πty(m)0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy******处质点的振动曲线m5.0x123412341.0作振动曲线图为：上页下页结束返回第十章波动和声作业:P36910.2.110.2.210.2.310.2.510.2.610.2.10补：p3309.2.139.2.15