10.3 几何概型

§10.3几何概型基础知识自主学习要点梳理1.几何概型的定义对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的地取一点，该区域中每一点被取到的机会；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个.这里的区域可以是、、等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.几何区域内随机指定区域中的点长度面积体积均等2.概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=.3.求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.的测度的测度Dd基础自测1.在区间［1，3］内任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为.解析本题为几何概型问题，在［1.5，3］内任取一数，则此数大于等于1.5，因此所求大于等于1.5的概率.75.04325.1]3,1[]3,5.1[的长度区间的长度区间P0.752.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率为.解析当弦长等于半径时对应的圆心角为设A={弦长超过半径}，则,3π.32π2π32π2)(AP323.(2009·福建)点A为周长等于3的圆周上的一个定点.若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为.解析圆周上使弧的长度为1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧的长度为2，B点落在优弧上的概率就是使劣弧的长度小于1的概率，所以劣弧的长度小于1的概率为.32324.（2009·辽宁）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为.解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为.4π122π2P4π1典型例题深度剖析【例1】如图，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出.分析解记E：“A与C，B与D之间的距离都不小10米”，把AB三等分，由于中间长度为米，103130.313010)(EP跟踪练习1（2010·徐州模拟）在半径为1的圆周上任取两点，连结两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.解记A={弦长超过圆内接正三角形边长}，如图，取圆内接正三角形的顶点B作为弦的一个端点，当另一个端点E在劣弧上时，|BE||BC|，而劣弧长恰为圆周长的由几何概型公式有.31.31)(AP【例2】街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边上，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？应用几何概型的概率计算公式即可解决此类问题.分析的测度的测度DdAP)(解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7cm和9cm的正方形围成的区域内，所以概率为（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为.813297922241.81π9π2跟踪练习2在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？解病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则.01.0000110)(所有种子的体积取出的种子体积AP【例3】在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM||AC|的概率.如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处，使|AM||AC|的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件.分析解设事件D：“作射线CM，使|AM||AC|”.在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，μA=90°-75°=15°，μΩ=90°，,75230180CAC所以.619015)(DP所以跟踪练习3(2010·常州模拟)一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的内部爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为.解析设三角形为ABC（∠C=90°），分别以三角形的三个顶点为圆心，以1为半径作三个扇形，三个扇形的面积为由几何概型得所求概率为.12π1212π143212π4321P,2π1)(214πBA12π12【例4】（12分）甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标（x,y）就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x-y|≤15所对应的图中阴影部分表示.分析解题示范解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.［4分］由几何概型的概率公式得：所以，两人能会面的概率是［12分］.167600302526003604560)(222SSAPA.167跟踪练习4甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解甲比乙早到4小时内乙须等待，甲比乙晚到2小时内甲须等待.以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时须等待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，（x,y）的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示.由几何概型公式得：故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是.28867242021222124)(2222AP.28867思想方法感悟提高高考动态展望高考中多以填空题的形式考查几何概型的概率求法，重点是常见的两种几何度量—长度和面积.方法规律总结1.几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的.基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域内的概率与该区域的测度成正比，而与该区域的位置和形状无关，因此我们采用几何的办法求它的概率，因此这种概型叫做几何概型.2.求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据的区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件P(x,y)的约束条件，找出约束条件后，就像线性规划求可行域一样求其测度就不困难了.定时检测一、填空题1.（2009·盐城一模）如图，一只转盘，均匀的标有1～8个数，转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是.解析根据偶数与奇数所占面积相等，由几何概型公式易得指针指向偶数的概率是.21212.（2010·威海模拟）在区间（15，25］内的所0有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17a20的概率是.解析a∈(15,25］，∴P（17a20）=.103152517201033.（2010·江苏南通调研）某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为.解析投中正方形区域的概率为正方形面积与圆的面积之比.设正方形的边长为1，则其面积为1，圆的半径为，面积为，故投中正方形区域的概率为222π)22π(2π22π1π24.（2009·盐城一模）设-1≤a≤1，-1≤b≤1，则关于x的方程x2+ax+b2=0有实根的概率是.解析由题知该方程有实根满足条件知阴影面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积4，故概率为,04,11,1122baba.4141作平面区域如图：由图5.（2009·烟台二模）当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是.解析由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为.161805P1616.（2010·江苏泰州月考）在面积为S的△ABC的边AB上任取一点D，则△DBC的面积大于的概率是.解析如图在AB边取点D′，4S,43ABDA使.43,ABDAPDAD则内运动只能在则437.（2010·南通模拟）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为.解析设A={两数之和小于}，X，Y分别表示随机抽取的两个数，则0X1,0Y1,56.2517)54(211)(2单位正方形的面积的面积AAP2517568.（2010·宿迁模拟）已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为.解析本题考查几何概型的应用.据题意可知黄豆落在阴影部分的概率等于其概率可用阴影部分的面积与矩形面积的比来度量，即,20110001550.335122011阴影阴影矩形阴影即S，SSS339．(2009·江苏靖江调研)射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色,金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122cm,靶心直径12.2cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，则射中“黄心”的概率是____________.解析记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为14π×1222cm2的大圆内，而当中靶点在面积为14π×12.22cm2的黄心时，事件A发生，于是事件A发生的概率P(A)＝14π×12.2214π×1222＝0.01，所以射中“黄心”的概率为0.01.答案0.01二、解答题10.（2010·常州模拟）设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间［0，3］内任取的一个数，b是从区间［0,2］内任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”，当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},如图，由几何概型的定义得.322322123)(2AP11.（2010·淮北调研）已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM30°的概率；（2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM30°的概率.解（1）设CM=x，则0xa.（不妨设BC=a）.若∠CAM30°,则故∠CAM30°的概率为,330ax.33),0()33,0(的长度区间的长度区间aaP（2）设∠CAM=θ，则0°θ45°.若∠CAM30°,则0°θ30°,故∠CAM30°的概率为.32)