arc-8851-3-3函数的单调性、极值与最值

第三节函数的单调性、极值与最值一、单调性的判别法二、函数的极值及其求法三、最大最小值问题四、小结一、单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xf定理.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1),(],[)(上单调减少在，则函数内若在上单调增加；在，则函数内若在）（内可导上连续，在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfyabBA例1解.1的单调性讨论函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．).,(:D又问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.例2解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x,0)(xf上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[例3解.)(32的单调区间确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x32xy时，当0x,0)(xf上单调增加；在),0[时，当x0,0)(xf上单调减少；在]0,(单调区间为，]0,().,0[结论：导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．.,)()(0)(符号然后判断区间内导数的的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf单调区间求法:注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,0)(),0(,),0[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；在),0[,0)0(f时，当0x,0)1ln(xx).1ln(xx即例如,,3xy,00xy.),(上单调增加但在二、函数的极值及其求法oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x的是函数则称）（若内定义在设函数)()(),()(1)(),,(,),()(0000xfxfxfxfxUxbaxbaxf极大值；的是函数则称）（)()(),()(200xfxfxfxf极小值.函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x定理1(必要条件).0)()(000xfxxxf处取得极值，则处导数存在，且在在设的函数为的实根即方程称导数为零的点)()0)((xfxf驻点.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)处取得极大值；在，则有，；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(1xxfxfxxxxfxxx处取得极小值；在，则有，；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(2xxfxfxxxxfxxx.)()(),(),(300000处无极值在相同，则符号时，及若）（xxfxfxxxxxxxyo0x0x求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情形)xyo例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xxMm定理3(第二充分条件)，则，处二阶可导，且在设0)(0)()(000xfxfxxf处取得极大值；在时，函数当00)(0)()1(xxfxf.)(0)()2(00处取得极小值在时，函数当xxfxf例2解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.48注意:.2,)(,0)(00则用定理处不一定取极值在点时xxfxfMm例3解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M三、最大最小值问题oxyoxybaoxyabab.],[)(],[)(存在最值上在零的点，则且至多有有限个导数为，，除个别点外处处可导若函数baxfbaCxf步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,大就是最大值,小就是最小值。注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值(最大值或最小值).例1解)1)(2(6)(xxxf.]4,3[14123223上最值在求xxxy得解方程,0)(xf.1,221xx)3(f;23)2(f;34)1(f;7;142)4(f，最大值142)4(f.7)1(f最小值例2.敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解公里5.0(1)建立敌我相距函数关系).(分追击至射击的时间处发起为我军从设Bt敌我相距函数22)24()5.0()(ttts公里4BA)(ts)(ts20t.)()2(的最小值点求tss)(ts.)24()5.0(5.7522ttt,0)(ts令得唯一驻点.5.1t.5.1分钟射击最好处发起追击后故得我军从B实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数（定义域）;(2)求最值.注意：若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值.例3.某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解月，元设房租为/x套出租的房子有1018050x每月总收入为)(xR)20(x1018050x1068)20(xx680180x101)20(1068)(xxxR570x0)(xR350x（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.1035068)20350()(xR即)(10890元成的三角形面积最大．所围及点处的切线与上求一点使曲线在该曲边在围成一个曲边三角形，及抛物线，由直线例8080.422xyxyxyxyTxyoPABCACB解),,(00yxP设所求切点为为则切线PT),(2000xxxyy,200xy),0,21(0xA)16,8(200xxB),0,8(C)16)(218(212000xxxSABC)80(0x,0)1616643(41020xxS令解得).(16,31600舍去xx8)316(s.0.274096)316(为极大值s.274096)316(大者为所有三角形中面积最故s四、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)注意最值与极值的区别：最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.思考题1若0)0(f，是否能断定)(xf在原点的充分小的邻域内单调递增？思考题1解答不能断定.例0,00,1sin2)(2xxxxxxf)0(f)1sin21(lim0xxx01但0,1cos21sin41)(xxxxxf)212(1kx当时，0)212(41)(kxfkx21当时，01)(xf注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．k00x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075思考题2下命题正确吗？如果0x为)(xf的极小值点，那么必存在0x的某邻域，在此邻域内，)(xf在0x的左侧下降，而在0x的右侧上升.思考题2解答不正确．例0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当0x时，)0()(fxf)1sin2(2xx0于是0x为)(xf的极小值点当0x时，当0x时，,0)1sin2(2xxx1cos在–1和1之间振荡因而)(xf在0x的两侧都不单调.故命题不成立．xxxxf1cos)1sin2(2)(思考题3若)(af是)(xf在],[ba上的最大值或最小值，且)(af存在，是否一定有0)(af？思考题3解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例xxfy)(]1,0[x在有最小值，但0x01)0(f一、填空题：1、函数7186223xxxy单调区间为_____________________.2、函数212xxy在区间[-1,1]上单调________，在_________上单调减.3、函数22lnxxy的单调区间为____________，单减区间为_____________.二、确定下列函数的单调区间：1、xxxy69410232、32))(2(xaaxy(0a)练习题1一、1、),3[],1,(单调增加,]3,1[单调减少；2、增加,),1[],1,(3、]1,(,),1[；]1,0(],1,(];1,0(),0,1[.二、1、在),1[],21,0(),0,(内单调减少,在]1,21[上单调增加；2、在),[],32,(aa内单调增加,在],32[aa上单调减少；练习题1答案一、填空题：1、极值反映的是函数的________性质.2、若函数)(xfy在0xx可导，则它在点0x处到得极值的必要条件中为___________.3、函数32)1(2xy的极值点为________；31)1(23xy的极值为__________.4、已知函数0,10,)(3xxxxxfx当_______x时，为极________y小值；当时________x，为极________y大值.练习题2二、求下列函数的极值：1、xeyxcos；2、xxy1；3、方程02yeyx所确定的函数)(xfy；4、0,00,21xxeyx.三、证明题：1、如果dcxbxaxy23满足条032acb，则函数无极值