2.1离散型随机变量及其分布列

2.1.1离散型随机变量高二数学选修2-3某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，可能出现的结果可能由0,1，……10这11个数表示.出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6表示.掷一枚骰子时,出现的点数如何表示?那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢?01以1和0表示正面向上和反面向上某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就可看成是这些数字的变化。若把这些数字当做某个变量的取值，则这个变量就叫做随机变量，常用X、Y、x、h来表示。注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义“X=0，表示正面向上，X=1，表示反面向上”一、随机变量的概念：随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种对应关系.本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。正面朝上反面朝上01我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字来表示。这种对应事实上是一个映射。出现1点出现2点……出现6点12……60件次品1件次品……4件次品01……4随机变量和函数随机变量随机试验结果实数实数实数函数两者都是一种映射试验结果的范围相当于函数的定义域随机变量的取值范围相当于函数的值域例1、写出下列各随机变量可能的取值，并说明它们各自所表示的随机试验的结果：（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数x；（2）抛掷两个骰子，所得点数之和Y；（3）某城市1天之中发生的火警次数X；（4）某品牌的电灯泡的寿命X；（5）某林场树木最高达30米，最低是0.5米，则此林场任意一棵树木的高度x．（x=1、2、3、···、10）（Y=2、3、···、12）（X=0、1、2、3、···）[0，+∞)[0.5，30]思考：前3个随机变量与最后两个有什么区别？二、随机变量的分类：1、如果可以按一定次序，把随机变量可能取的值一一列出，那么这样的随机变量就叫做离散型随机变量。（如掷骰子的结果，城市每天火警的次数等等）2、若随机变量可以取某个区间内的一切值，那么这样的随机变量叫做连续型随机变量。（如灯泡的寿命，树木的高度等等）注意：（1）高中阶段，我们只研究离散型随机变量；（2）变量离散与否,与变量的选取有关；比如：对灯泡的寿命问题，可定义如下离散型随机变量0,10001,1000Y寿命小时寿命小时例2、一个袋中装有5个白球和5个黑球，若从中任取3个，则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值范围，并说明X的不同取值所表示的事件。解：X的取值范围是{0，1，2，3}，其中{X=0}表示的事件是“取出0个白球，3个黑球”；{X=1}表示的事件是“取出1个白球，2个黑球”；{X=2}表示的事件是“取出2个白球，1个黑球”；{X=3}表示的事件是“取出3个白球，0个黑球”；变式：X3在这里又表示什么事件呢？“取出的3个球中，白球不超过2个”ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3,5或2,4,5或3，4，5例3.一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ解思维训练思维训练::1.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为，则所有可能值的个数是____个；“”表示．xx4x“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号”．9答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得，也就是说“＞4”就是“＝5”．所以，“＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．55x≤≤xxx2.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问:“ξ4”表示的试验结果是什么?思维训练思维训练::4.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定：一次购买小于或等于50只的不优惠.大于50只的，超出的部分按原价格的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量，那么他所付款η是否也为一个随机变量呢?ξ、η有什么关系呢？若ξ是随机变量，则η=aξ+b（其中a、b是常数）也是随机变量．小结小结::1.随机变量是随机事件的结果的数量化．随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机事件。随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量ξ的自变量是试验结果。3.若ξ是随机变量，则η=aξ+b（其中a、b是常数）也是随机变量．2.随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。若用X表示抛掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，请把X取不同值的概率填入下表，并求判断下列事件发生的概率是多少？（1）{X是偶数}；（2）{X3}；X123456P解：P(X是偶数)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)12P(X3)=P(X=1)+P(X=2)13616161616161三、离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为：x1，x2，…，xi，…，xnX取每一个xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=Pi，则称表：Xx1x2…xi…PP1P2…Pi…为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=Pii=1，2，…，n来表示X的分布列