(第二周)第十一章 压杆稳定

第十一章压杆稳定重点:了解压杆稳定的概念;掌握用欧拉公式计算压杆的临界荷载与临界应力;理解压杆的临界应力总图;掌握压杆的稳定条件及其实用计算.第一节压杆稳定的概念一直杆受轴向拉伸时,无论杆的长短粗细如何,直至被拉断为止,杆的轴线始终保持直线状态。直杆受压时，情况就不同了，根据直杆的长度和横截面积的大小分为粗短杆和细长杆。粗短杆受压时，破坏原因是由于强度不够，即横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆会发生破坏。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，即横截面上的正应力没达到材料的极限应力时，因弯曲过大而破坏。1例如，一根长300mm的钢制矩形截面直杆，宽为20mm，厚度为1mm，材料的抗压许用应力等于140MPa。按抗压强度计算，其抗压承载能力为2800N。但实际上，压力不到40N时，杆件发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力而导致破坏。显然这不属于强度破坏的问题。以下图等直细长杆说明问题。在杆两端施加轴向力F，使杆在直线状态下处于平衡，此时，给杆以微小的侧向干扰力，使直发生微小的弯曲，再撤去干扰力。当杆承受的轴向压力大小不同，其结果也截然不同。1）当轴向压力F小于某一数值Fcr时，在撤去干扰力后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，图a、b，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡。abcd22）当轴向压力F逐步增大到某一数值Fcr时，即使撤去干扰力，杆仍处于微弯状态，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，图c、d，则原有的直线平衡状态称为不稳定的平衡。3）如果力F继续增大，则杆继续弯曲,产生显著的变形,甚至发生突然的破坏。abcd3由上可知，在轴向压力逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。压杆是否失稳取决于轴向压力的大小，压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr表示。当轴向压力F小于Fcr时，杆件就能保持稳定的平衡，这称为压杆具有稳定性；当轴向压力F等于或大于Fcr时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。4第二节临界力和临界应力一、细长压杆临界力计算公式——欧拉公式（推导从略）22)(lEIPcr二、欧拉公式的一般形式临界力计算公式可以统一写成：（1）式EI为截面的抗弯刚度，由于压杆总是在抗弯刚度最小的纵向平面内失稳，所以I应取截面的最小形心主惯性矩。μl称为折算长度（计算长度），表示将压杆折算成两端铰支座的长度。μ为长度系数。支承情况两端铰支一端固定一端悬臂两端固定一端固定一端铰支杆端支承情况折算长度长度系数l2l0.5l0.7l120.50.7lPcrlPcrPcrlPcrl5例１：如图，一端固定另一端自由的细长压杆，杆长l=2m，截面形状为矩形，b=20mm，h=45mm，材料的弹性模量E=200GPa，试计算该压杆的临界力。若把截面改为b=h=30mm，而长度保持不变，则该压杆的临界力为多少？4433min10312204512mmhbIIy【解】1）计算截面的惯性矩压杆在弯曲刚度最小的xy平面内失稳,最小惯性矩为:2）计算临界力3）当截面改为b=h=30mm时压杆的惯性矩为：kNNlEIFmmbhIIcrzy33.88330)1022(1075.610200)(1075.612301223432224443kNNlEIFcr70.33701)1022(10310200)(2343222分析：横截面面积相等，支承条件相同时，计算的临界力后者大于前者。所以在材料用量相同时，选择恰当的截面形式，可提高细长压杆的临界力。yxFlbzh6ZYXF三、欧拉公式的适用范围1、临界应力和柔度当压杆在临界力Fcr作用下处于直线状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示。AFcrcr代入（1）式得：AlEIcr22)(令AIii——压杆横截面的惯性半径临界应力可写为：22222)()(ilElEicr令il则22Ecr（2）式(3)式为压杆临界应力的欧拉公式。λ为压杆的柔度或长细比，是一个无量纲的量，与压杆的长度系数μ、杆长l及惯性半径i有关。由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i决定截面的形状和尺寸，所以柔度综合反映了支承情况、压杆的长度、截面的形状与尺寸对临界力的影响。（3）式表明：压杆的柔度λ越大，则临界应力σcr越小，压杆越易失稳。（3）式72、欧拉公式的适用范围在推导欧拉公式的过程中，利用了挠曲线的近似微分方程，该微分方程必须是材料处于弹性状态即服从虎克定律，因此欧拉公式的适用范围是临界应力不超过材料的比例极限σp。ppcrEE22设λp为压杆临界应力达到材料的比例极限σp时的柔度值，则：ppE欧拉公式的适用范围：λ≥λP（5）式（4）式当压杆的柔度不小于λp时，才可应用欧拉公式计算临界力和临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于大柔度杆。（4）式可知，λp的值取决于材料的性质，不同的材料有自己的E和σp值，所以不同的材料制成的压杆，λp也不同。例如Q235钢，σ=200MPa，E=200GPa，（4）式求得λp=1008•四、中长杆的临界力计算——经验公式、临界应力总图•1、中长杆的临界力计算——经验公式•欧拉公式只适用大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例极限（弹性稳定状态）。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹性阶段，压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳定）问题，则欧拉公式不适用。对这类压杆各国采用经验公式计算临界力和临界应力，经验公式是在试验和实践的基础上，经过分析、归纳得到的。各国的计算不尽相同。我国比较常用经验公式有直线公式和抛物线公式等，这里只介绍直线公式，其表达式为：：σcr=a-bλ（6）式•式中a和b是与材料有关的常数，单位MPa，几种材料的a、b值见P169表11-2。•（6）式的适用范围，是临界应力不超过材料的极限应力，否则压杆会因强度不足而破坏。9对于塑性材料制成的压杆，其临界应力不超过材料的屈服应力σs，即σcr=a-bλ≤σs或λ≥（ａ－σｓ）／ｂ令λｓ＝（ａ－σｓ）／ｂ（７）式得λ≥λｓ式中λｓ——临界应力等于材料的屈服应力时压杆的柔度值，也是与材料的性质有关的常数。直线经验公式的适用范围为：λｓ＜λ＜λｐ（８）式（８）式也可以用应力来表示：σｓ＞σｃｒ＞σｐ柔度值介于λｓ与λｐ之间的压杆称为中长杆或中柔度杆。说明：σｃｒ≥σｓ，即λ≤λｓ的压杆称为粗短杆或小柔度杆，其破坏为强度破坏，对于塑性材料的压杆，可取临界应力σｃｒ＝σｓ。10２、临界应力总图综上所述，压杆按柔度的不同，分为三类。当λ≥λｐ时，为细长杆，临界应力用欧拉公式计算；当λｓ＜λ＜λｐ时，压杆为中长杆，临界应力用（６）式计算；当λ≤λｓ时，压杆称为细长杆，临界应力等于屈服应力或屈服应力。如果把临界应力根据柔度的不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形称为压杆的临界应力总图。下图为某塑性材料的临界应力总图。11例２：如图所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Ｑ２３５钢制成，材料的弹性模量Ｅ＝２００ＧＰａ，屈服应力σｓ＝２３５ＭＰａ，直径ｄ＝４０ｍｍ，试分别计算下面三种情况下的临界应力：１）杆长ｌ＝１．２ｍ；２）杆长ｌ＝０．８ｍ；３）杆长ｌ＝０．５ｍ；【解】１）计算ｌ＝１．２ｍ时的临界应力。两端铰支μ＝１惯性半径mmdddAIi10440446424柔度10012010102.113pil所以是大柔度杆，用欧拉公式计算临界应力kNNdEcrAFcr83.541083.5412044010200432233222ＦＦＬ12２）计算杆长ｌ＝０．８ｍ时的临界应力μ＝１，ｉ＝１０ｍｍ8010108.013iL查表１１－２可得λｓ＝６２由于λｓ＜λ＜λｐ，所以是中长杆，应用经验公式计算临界力。查表１１－２，Ｑ２３５钢ａ＝３０４ＭＰａ，ｂ＝１．１２ＭＰａkNNdbacrAFcr4.269104.269440)8012.1304(4)(322３）计算杆长ｌ＝０．５ｍ时的临界应力μ＝１，ｉ＝１０ｍｍ625010105.013sil压杆为粗短杆，其临界力为：kNNsAFcr3.295103.2954402353213第三节压杆的稳定计算当压杆的应力达到或超过其临界应力时，压杆会丧失稳定。所以正常工作的压杆，横截面上的应力应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足够的稳定性，必须考虑一定的安全储备，这要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应力的许用值值[σｃｒ]，即：stcrcrncrAF[σｃｒ]为临界应力的许用值，其值为：ｎｓｔ——稳定的安全系数。稳定安全系数一般大于强度计算时的安全系数。为了计算的方便，将临界应力的许用值，写成如下形式：stcrstcrcrnn式中［σ］——强度计算时的许用应力Φ——折减系数，小于１14由上式可知，当［σ］一定时，φ取决于σｃｒ与ｎｓｔ。临界应力σｃｒ随杆的柔度而变，而不同柔度的压杆一般又规定不同的稳定安全系数，所以折减系数φ是柔度λ的函数。当材料一定时，φ值取决于柔度λ值。见Ｐ１７２表。注意：［σｃｒ］与［σ］虽然都是许用应力，但有很大的不同。［σ］只与材料有关，而［σｃｒ］除与材料有关外，还与杆的柔度有关，所以相同材料制成的不同柔度的压杆，其［σｃｒ］值是不同的。压杆的稳定条件为：AF折减系数φ可由λ查表得到。由（９）式进行压杆的稳定计算很方便，所以该方法也称为实用计算方法。注意：在稳定计算中，不论压杆是否有孔或槽，其横截面面积Ａ用毛面积计算。但对于截面的削弱处，应进行强度计算。15•应用压杆的稳定条件，可以进行三个方面问题的计算。•１）稳定校核•２）计算稳定时的许可荷载•３）进行截面设计16例３：如图，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为Ｑ２３５钢，ｄ＝２０ｍｍ，材料的许用应力［σ］＝１７０ＭＰａ，已知ｈ＝０．４ｍ，作用力Ｆ＝１５ｋＮ。试在计算平面内校核二杆的稳定。kNFFkNFFFFFYFFXACABACABACAB98.10732.044.13896.0030sin45sin0045sin45cos00000【解】1)计算压杆所受的压力以结点A为研究对象,列平衡方程解得:2)计算二杆的柔度各杆的长度为：二杆的柔度为：16020108.01441132010566.014433dlildlilACACACABABABFABC45°30°AFFABFAC45°30°17mhlmhlACAB8.04.022566.04.022272.0515.0536.0446.0536.0110120110113ACABAB3）由表11-3查得折减系数为：注意：当λ不是表中的整数值时，可用线性内插的方法求出。如φAB4）由稳定条件进行验算MPaMPaAFMPaMPaAFACACACABABAB24.46170272.035)220(1098.1055.87170515.08.42)220(1044.132323二杆都满足稳定条件，构架稳定。18例4：如图所示支架，BD杆为正方形截面的木杆，长度L=2m，截面边长a=0.1m,木材的许用应力[σ]=10MPa,试从满足BD杆的稳定条件考虑,计算该支架所能承受的最大荷载Fmax【解】1）计算BD杆的柔度801211.031.211231.223230cos240aalAIlil