格林公式及其应用

一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积)()('aFbFxFdxbaxF')(xF一、格林公式在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式：表示:在区间[a,b]上的积分可以通过它的原函数在这个区间端点上的值来表达。下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。yx22yx22设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。通俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。例如，平面上的圆形区域{（x,y）|14}或2}都是复连通区域。{（x,y）|0平面单连通区域的概念：对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l所围成的复连通区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l的正向是顺时针方向。LDl定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有QdyPdxdxdyyPxQD其中L是D的取正向的边界曲线。公式（1）叫做格林公式。(1)注意哦对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向。.2ydxxdydxdyDDLydxxdy21sin,cosbyax在公式（1）中取P=-y，Q=x,即得上式的左端是闭区域D的两倍，因此有：例1求椭圆所围成的图形面积A格林公式的一个简单应用：20202221)(2121sincosabdabdababydxxdyAL根据公式（1）有：例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明022dyxydxLx解：,,22xQxyP022xxypxQLDdxdydyxydxx0022,22Lyxydxxdy证明:则因此，有格林公式得例3计算其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。令,,2222yxyxxQyP022yx.22)(222yPxQyxxyD)0,0(022Lyxydxxdy解：则当时，有记L所围成的闭区域为D.当时由格林公式得：令D)0,0(ryx222当时，选取适当的r0，作为于D内的圆周l:记L和l所围得闭区域为D1(如图)。对复连通区域D1应用格林公式，得LxyD1l0lLyxyxydxxdyydxxdy2222drrr2022222sincos2其中l的方向取逆时针方向，于是：02222lLyxyxydxxdyydxxdy),(),,(2211yxByxA一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外，还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。设G是一个开区域，且P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数。如果对于G内任意指定的两个点：二平面曲线积分与路径无关LQdyPdxBAQdyPdx),(),(2211yxyxQdyPdx以及G内从点A到点B的任意两段曲线L1，L2等式：12LLQdyPdxQdyPdx恒成立，则称曲线积分在G内与路径无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从A到B的曲线积分可记为或定理2设二元函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域G具有一阶连续偏导数，则在单连通区域G内下列条件等价：yPxQLQdyPdx0LQdyPdx（1）（2）沿任意分段光滑的有向（3）曲线积分与路径无关。闭曲线L，有),(),(00),(yxyxQdyPdxyxuQdyPdxdu满足注意：(1)定理中的等价关系是建立在单连通区域内的，并且要求P(x,y),Q(x,y)在G上具有有一阶连续偏导数，当这两个条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。(2)定理中命题(2)和(3)的等价区域可以不是单连通的。(3)若函数P(x,y),Q(x,y)满足定理2条件LdyyxQxydy),(2)1,()0,0(),1()0,0(),(2),(2ttdyyxQxydxdyyxQxydxyxyxQ)2(例4设函数Q(x,y)在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意实数t，恒有求函数Q(x,y).解：由题意知曲线积分与路径无关，因而有.2xxQ)(),(2yyxQx)(yxyo1tt1即于是其中为任意可导函数。如图所示，取点A(t,0),B(t,1),C(1,0),D(1,t).对所给等式左端沿折线OAB,右端沿折线OCD直线进行曲线积分，得ttdyyQdxdyytQdx010100.),1(0),(0将前面得到的Q(x,y)代入上式，得1002)](1[)]([tdyydyyt即1002)()(tytdyyt两段对t求导数，得)(12tt或12)(tt故12),(2xyxQx三、二元函数的全微分求积给定u(x,y)，dy.yudxxudu(x,y)---求二元函数全微分问题,QdyPdx给定),(yxu求QdyPdxyxdu),(使得---二元函数的全微分求积分题讨论以下两个问题：是某满足什么条件、QdyPdxyxQyxP),(),()1(的全微分？二元函数),(yxu？如何求这样的),()2(yxu定理3设区域G是一个单连通域，函数P(x,y)+Q(x,y)，在G内具有一阶连续偏导数，则在G内是某个函数的全微分的充分必要条件是：yQxP在G内恒成立。证明略。推论：内具有一阶连续在，是单连通区域，设GyxQyxPG),(),(的充要条件是内与路径无关在偏导数，则曲线积分LGQdyPdx.),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu说明：件是某函数的全微分的条给出了定理QdyPdx3)1(yPxQ(2)推论给出了全微分求积得方法，即：可用积分法求),(G00yxMQdyPdxdu内的原函数取定起点在及动点M(x,y)，O0x0yyx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxuyxydyyxQdxxxPy00,),(),(0.),(),(),(000dxyxPdyyxQyxuxxyy或例：并求出这个函数。是某个函数的全微分，验证ydyxdxxy22证：可知，存在函数有定理则设2,2P,,22xQxyyyxQxyPydyxdxxyduyxu22),(使22020022),()0,0(2210yxydyxydyxdxxydyxdxxyyxyyx),(yxu小结内容应用1、格林公式常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较简单的二重积分的计算.2、曲线积分与路径无关的条件LDQdyPdxdxdyyPxQ)(yPxQ3.等价条件设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有LQdyPdx在D内与路径无关.对D内任意闭曲线L有L;QdyPdx0在D内有.xQyP在D内有.QdyPdxduLQdyPdxIxQyPxQyP闭合非闭0LQdyPdxI),(),(00yxyxQdyPdxI闭合非闭补充曲线或用公式dxdyyPxQID)(求第二类曲线积分的思路:1.计算下面曲线积分，并验证格林公式的正确性：dyxdxxyyxL)()2(22xy2xy2解：dyxdxxyyxL)()2(22])()2[()(2212dyxdxxyyxLL其中L是由抛物线及所围成的区域的正向边界曲线；dyydxxxyyyyxxx01224310423)](2)2[(]2)()2[(0124510235)242()22(dydxyyyxxx301)323431()312131(,),(,2),(22yxxyxQxyyxPdxdyxdxdyyPxQDD)21()(dxxydyxydxxxy2210210][)21(故用二重积分计算：dxxxxx104221)(30151312132LDQdyPdxdxdyyPxQ)(2.利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积：圆：axyx222解：ayax222)(,20,sin,cosayaax正确。的参数方程为：所以格林公式：圆：aaddaaaaydxxdyAL220220)cos1(2)]sin(sincos)cos1([21213.证明下面曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值：)3,2()1,1()()(dyyxdxyx解:,,1,1xQyPxQyP在整个xOy平面内成立，所以积分与路径无关。选取特殊的积分路径为从(1,1)到(2,1)到(2,3)的折线，则25)2()1()()(2121)3,2()1,1(dyydxxdyyxdxyx因为4利用格林公式，计算下面曲线积分：Ldyxydxyx,)635()42(其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；解：,635,42xyQyxP4)1(3yPxQ所以原式DDdxdydxdyyPxQ4)(123843032030xdxdydxx因为