极值和极值点的概念

2.6.1极值和极值点的概念定义2.6设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于x0的x恒有(1)f(x0)f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，x0称为f(x)的极大值点；(2)f(x0)f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，x0称为f(x)的极小值点；函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点.2.6函数的极值和最大（小）值及其求法显然，在图中，x1，x4为f(x)的极大值点，x2，x5为f(x)的极小值点.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5yy=f(x)x0再看下面函数曲线：极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定大于极小值．如P41书上图2-5oxyab1x2x3x4x5x6x定理2.61(极值的必要条件)设函数y=f(x)在x0处可导，且f(x0)为极值(即x0为值点)，则f(x0)=0.即函数的极值点必为驻点或不可导点2(极值的第一充分条件)设函数y=f(x)在x0的一个邻域内可微(在x0处可以不可微，但必须连续)，若当x在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时，其导数f(x)改变符号，则f(x0)为函数的极值.x0为函数的极值点，并且(1)若导数f(x)由正值变成负值，则x0为极大值点，f(x0)为f(x)的极大值；(2)若导数f(x)由负值变成正值，则x0为极小值点，f(x0)为f(x)的极小值.3(极值的第二充分条件)(1)当f(x0)0时，则x0为极小值点，f(x0)为极小值；(2)当f(x0)0时，则x0为极大值点，f(x0)为极大值.若f(x0)=0，且f(x0)0，则x0是函数的极值点，f(x0)为函数的极值，并且设函数y=f(x)在x0处的二阶导数存在，运用定理2.6求函数极值的一般步骤是：(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；(2)考察上述点两侧一阶导数的符号(或考察上述点的二阶导数的符号)，确定极值点；(3)求出极值点处的函数值，得到极值.补充例题1.求f(x)=x33x29x+5的极值.解:f'(x)=3x26x9=3(x+1)(x3)令f'(x)=0解得驻点x1=1,x2=3x=1:x1时f'(x)0.x1时f'(x)0x=3:x3时f'(x)0.x3时f'(x)0极大值f(1)=10.极小值f(3)=22.补充例题2.求f(x)=32x的极值解:13322'()33fxxx(0)xx0时,f'(x)0,x0时,f'(x)0故得极小值f(0)=032yxxy0''()sincosfxxx1,4x补充例题3.求()sincosfxxx的极值.解:f(x)以2为周期，故考虑区间[0,2)令f'(x)=cosxsinx=0又有得驻点254x()0,4f5()0.4f由定理2.6知()24f为极大值5()24f为极小值由周期性知522()44xkxkk和Z分别为f(x)的极大值点和极小值点.补充例题4求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3的极值.解(1)定义域为(-,+).f(x)=(x-1)(x-2)2(5x-7).所以由f(x)=0可得f(x)的三个驻点：,2,57,1xxx该函数在定义区间内无不可导的点，上述驻点将定义区间分为四个子区间).,2(,2,57,57,1),1,((2)当x(-,1)时，f(x)0；,57,1时当x,2,57时当xf(x)0；当x(2,+)时，f(x)0.因此，由定理3可知，x=1为极大值点，,57为极小值点xx=2不是极值点(因为在x=2的两侧f(x)同为正号).;0)(xf(3)计算极值极大值f(1)=(11)2(12)3=0，.31251083257215757f极小值有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-,1)f(x)157,1572,572(2,+)+0-0+0+f(x)极大值03125108极小值无极值补充例题5求函数f(x)=x4–10x2+5的极值.因为解(1)定义域为(-,+).f(x)=4x3–20x=4x(x2-5)，所以，由f(x)=0可得该函数的三个驻点.5,0,5xxx所以有;020)5(12)5(2f;020)0(f.020)5(12)5(2f由定理2.6可知：，为极小值点和55xx.0为极大值点x(2)因为f(x)=12x2–20，(3)计算极值：;205)5(10)5()5(24f极小值;550100)0(24f极大值.205)5(10)5()5(24f极小值请阅读书上第41页例1和例2例1求函数的极值．11232)(23xxxxf例2求函数在区间内的极值．xxxfsin23)(2,0)(xf３．函数的最大最小值在很多实际问题中，需要求出最大或最小值．表示这些问题的函数一般在区间上是连续的．根据以上讨论，具备这种条件的函数的最大、最小值总是存在的，它们只可能在的点、不存在的点或区间端点处取得．)(xfba,0)(xf)(xf求在上最大、小值的步骤：)(xfyba,)(),(,),(),(),(21bfxfxfxfafn0)(xf)(xfnxxx,,,21(1)求出及不存在的点；(2)比较的大小．其中最大的便是最大值，最小的便是最小值补充例题6.求f(x)=x48x2+2在[1,3]上的最大值和最小值.解：f'(x)=4x316x=4x(x2)(x+2)令f'(x)=0得驻点x1=0,x2=2,x3=2(舍去)计算f(0)=2,f(2)=14f(1)=5,f(3)=11所以最小值f(2)=14,最大值f(3)=11补充例题7.求f(x)=x2ex的最大值和最小值.解：f(x)在定义域(,)上连续可导且f'(x)=x(2x)ex令f'(x)=0得驻点x=0,x=2有f(0)=0，f(2)=4e2且lim(),xfxlim()0,xfx故f(x)在定义域内有最小值f(0)=0，无最大值.y=x2ex02(1)f(x)C([a,b])，且在(a,b)内只有唯一极值点x=x0.则当f(x0)极大时便也最大，当f(x0)极小时便也最小.特例xy0abyx0abx0x0(2)f(x)C([a,b]),且在(a,b)内单调增加，则f(a)最小，f(b)最大.单调减少则相反.abxy0abxy0补充例题8.某企业开发出一种新产品.已知生产销售x件产品所需成本费用C=25000+5x(元).若每件产品销售价为30(1)6000xP，问生产销售多少件产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？解：目标函数:=x·PC·30(1)2500056000xxx利润L=收入成本22525000200xx'25,100xL10.2500.100Lx由知为极小值点亦即最大值点.故生产销售x=2500件产品可使企业的利润最大，此时25003530(1)17.5()60002P元'02500Lx令得驻点求解：课常练习试求函数f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在区间[0,3]上的最大值和最小值.解f(x)=12x3-48x2+60x–24令f(x)=0，得驻点x=1，x=2，它们为f(x)可能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，将它们加以比较可知在区间[0,3]上f(x)的最大值为f(3)=13，最小值为f(2)=-4.