【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：2.2 函数的定义域、值域(共35张

§2.2函数的定义域、值域本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的________的取值范围．2．函数的值域(1)定义在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫________，函数值的______叫函数的值域．自变量函数值集合目录(2)基本初等函数的值域函数值域y＝kx＋bRy＝ax2＋bx＋c(a≠0)a0时，_______________；a0时，(－∞，4ac－b24a]y＝kx(k≠0){y|y∈R，y≠0}y＝ax(a0且a≠1)(0，＋∞)y＝logax(a0且a≠1)Ry＝sinx[－1,1]y＝cosx[－1,1]y＝tanxR[4ac－b24a，＋∞)目录思考探究1．函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：(1)整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2．函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．目录课前热身答案：C1．(教材改编)函数y＝2－x＋1x＋1的定义域为()A．(－∞，－2]B．(－∞，2]C．(－∞，－1)∪(－1,2]D．[2，＋∞)目录2．若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为()A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析：选A.要使f(x)有意义，需log12(2x＋1)＞0＝log121，∴0＜2x＋1＜1，∴－12＜x＜0.目录3．(2012·高考江西卷)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD.sinxx解析：选D.函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x＞0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.目录4．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域为________．5．函数f(x)＝x2－x＋1x11xx1的值域是__________．答案：(0,1]答案：(0，＋∞)目录考点探究讲练互动考点突破考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可．(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．目录例1求下列函数的定义域：(1)y＝12－|x|＋x2－1；(2)y＝x2lg4x＋3＋(5x－4)0；(3)y＝11－ex.【思路分析】求f(x)的定义域，只需使解析式有意义列不等式组即可求得．目录【解】(1)由2－|x|≠0，x2－1≥0，得x≠±2，x≤－1或x≥1.∴函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．(2)由4x＋30，4x＋3≠1，5x－4≠0，得x－34，x≠－12，x≠45.∴函数的定义域为(－34，－12)∪(－12，45)∪(45，＋∞)．(3)由1－ex0，得ex1，即exe0，∴x0.∴函数的定义域为{x|x0}．目录【领悟归纳】务必使解析式有意义的不等式列完备，如(2)中易丢掉x≠－12；(3)中易错写为1－ex≥0.目录例2考点2抽象函数的定义域f[g(x)]的定义域为[a，b]，指的是x的取值范围为[a，b]，而不是g(x)的取值范围为[a，b]．(1)已知函数f(x)的定义域为[1,5]，求函数y＝f(2x)＋f(5－x)的定义域；(2)已知函数f(x＋5)的定义域为[0,4]，求函数y＝f(x)的定义域．【思路分析】(1)中视“2x”与“5－x”为一整体适合f(x)的定义域．(2)中x＋5的取值与f(x)的定义域是相同的．目录【解】(1)∵f(x)的定义域为[1,5]，∴1≤2x≤51≤5－x≤5，得12≤x≤520≤x≤4，∴12≤x≤52，∴y＝f(2x)＋f(5－x)的定义域为{x|12≤x≤52}．(2)∵f(x＋5)的定义域为[0,4]，即0≤x≤4，∴5≤x＋5≤9，∴f(x)的定义域为[5,9]．目录【领悟归纳】本例中的题目有本质的区别(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域．(2)已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域．两个题目中都要视g(x)为一整体，g(x)是复合函数的中间变量．目录跟踪训练1．本例(2)中题设条件不变，求y＝f(lgx)的定义域．解：由上述解答可知f(x)的定义域为[5,9]，∴5≤lgx≤9，∴105≤x≤109，∴f(lgx)的定义域为[105,109]．目录考点3函数的值域求函数的值域时，应首先分析函数解析式的结构特征，以确定求函数值域的方法：配方法、反函数法、判别式法、换元法、基本不等式法、函数单调性法、数形结合法等．函数的最大(小)值就是函数值域中的最大(小)值，与此函数图象的最高(低)点对应．但并非每个函数都有最值．求最值时，结合后面将要复习的导数，与极值区分开．目录例3【思路分析】(1)是分式型可考虑分离常数法，配方法或者判别式法．(2)是无理函数型，可考虑换元法或者单调性法．(3)可结合反函数求解．求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝ex－1ex＋1.目录【解】(1)法一：(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，而x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴0＜1x2－x＋1≤43，∴－13≤y＜1.∴值域为－13，1.法二：(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0.∴－13≤y≤1.∵y≠1，∴函数的值域为－13，1.目录(2)法一：(单调性法)定义域xx≤12，函数y＝x，y＝－1－2x均在－∞，12上递增，故y≤12－1－2×12＝12.∴y∈(－∞，12]．法二：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0，且x＝1－t22.∴y＝－12(t＋1)2＋1≤12(t≥0)，∴y∈－∞，12.(3)由y＝ex－1ex＋1得，ex＝1＋y1－y.∵ex0，即1＋y1－y0，解得－1y1.∴函数的值域为{y|－1y1}．目录【领悟归纳】(1)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知项x2，则常用此法．通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式Δ≥0，确定y的范围，即为原函数的值域．要注意自变量x是否属于R.(2)若原函数的值域不易直接求解，可以考虑求其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y＝cx＋dax＋b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法．目录跟踪训练2．在例3中，对于(1)变为函数y＝x2－x＋1x2－x，对于(2)变为y＝2x－2x－1.如何求它们的值域．解：(1)y＝x2－x＋1x2－x＝1＋1x2－x＝1＋1x－122－14，若设t＝(x－12)2－14；则t∈[－14，0)∪(0，＋∞)，∴1t∈(－∞，－4]∪(0，＋∞)，∴1＋1t∈(－∞，－3]∪(1，＋∞)，∴y的值域为(－∞，－3]∪(1，＋∞)．目录(2)y＝2x－2x－1＝12x＋2x－1.∵定义域为[12，＋∞)，u＝2x＋2x－1在x∈[12，＋∞)上为增函数，∴u＝2x＋2x－1≥1，∴0y≤1.∴y的值域为(0,1]．目录考点4定义域、值域的综合应用给出函数的定义域或值域求其中字母参数的取值范围，其关键是从定义域、值域入手，做好转化．目录已知函数f(x)＝log3mx2＋8x＋nx2＋1的定义域为(－∞，＋∞)，值域为[0,2]，求实数m、n的值．例4【思路分析】设中间变量u＝mx2＋8x＋nx2＋1，根据u0的解集为R，且1≤u≤32，求m，n.目录【解】由u＝mx2＋8x＋nx2＋1，得(u－m)x2－8x＋(u－n)＝0.∵x∈R，且设u－m≠0，∴Δ＝(－8)2－4(u－m)(u－n)≥0，即u2－(m＋n)u＋(mn－16)≤0.由1≤u≤9知，关于u的一元二次方程u2－(m＋n)·u＋(mn－16)＝0的两根为1和9，由根与系数的关系得，m＋n＝1＋9，mn－16＝1×9.解得m＝n＝5.若u－m＝0，即u＝m＝5时，对应x＝0，符合条件，∴m＝n＝5为所求．【误区警示】本题转化为二次方程后，易丢掉u－m＝0的讨论．目录方法技巧1．求定义域的步骤(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式组；(3)写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．2．对于复合函数求定义域问题，若已知f(x)的定义域[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．若已知f[g(x)]的定义域为[m，n]，f(x)的定义域是当x∈[m，n]时g(x)的值域．方法感悟目录3．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围，利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．4．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．目录失误防范1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．求解有关函数定义域、值域问题时，易忽略函数定义要求的定义域，值域为非空数集．3．求复合函数定义域问题时，忽视中间变量的取值．目录考向瞭望把脉高考命题预测在高考中本节内容是考查的重点，或者直接考查，或者以本节内容为背景结合其他知识点进行考查，例如定义域与反函数结合，定义域与根式函数，对数、指数函数及集合的运算相结合，解析式与求函数值结合，值域与求最值结合．2012年的高考中，单独考查函数定义域的省份不多，单独考查值域的也不多．预测2014年的高考中主要是(1)与不等式的考查相结合,以选择、填空题的形式考查定义域的求法；(2)与函数的单调性相结合,考查函数的值域或最值的求法,一般出现在解答题中．目录规范解答例(本题满分12分)(2011·高考福建卷)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．目录【解】(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(3分)(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)2x－3＋10x－62＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．(6分)于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：目录由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.(10分)即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．(12分)x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减目录【名