姚启钧光学课件--第二章

主要内容一、光的衍射现象、二、惠更斯——菲涅耳原理三、菲涅耳半波带、四、菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）五、夫琅和费单缝衍射、六、夫琅和费圆孔衍射七、平面衍射光栅第2章光的衍射（DiffractionofLight）光的干涉是研究两列或两列以上光波的相互叠加问题。光的衍射研究光波本身传播行为，它进一步揭示了光的波动性的本质。§2.1惠更斯-菲涅耳原理一切波动都能绕过障碍物向背后传播性质。例如，户外的声波可绕过树木，墙壁等障碍物而传到室内，无线电波能够绕过楼房，高山等障碍物而传到收音机、电视里等。波遇到障碍物时偏离原来直线传播方向的现象称为波的衍射。光波在传播中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘而偏离直线传播,在光场中形成明暗变化的光强分布的现象叫光的衍射。光学一、光的衍射现象首先我们来做一个实验，让一单色强光源（激光）发出的光波，通过宽度为d且连续可调的竖直狭缝上，则在狭缝后的屏上将发现：当d足够大时，在屏上看到的是一个均匀照明的光斑，光斑的大小为狭缝的几何投影。这与光的直线传播相一致。逐渐减狭缝的宽度，屏上亮纹也逐渐减小，当狭缝的宽度小到一定程度，亮纹将沿于狭缝垂直的水平方向扩展弥漫。同时出现明暗相间的衍射图样，中央亮纹强度最大，两侧递减，衍射效应明显，缝宽越窄，对入射光束的波限制越厉害，则衍射图样扩展的越大，衍射效应越显著。屏幕EaS光源(b)b单缝KabS光源(a)屏幕ELL衍射屏像屏像屏*S衍射屏a*S圆孔衍射单缝衍射刀片边缘的衍射圆盘衍射（泊松点）透过手指缝看日光灯，也能看到衍射条纹。总结上述实验，光的衍射现象有如下规律：1.光在均匀的自由空间传播时，因光波波面未受到限制，则光沿直线传播。当遇到障碍物时，光波面受限，造成光强扩展，弥漫，分布不均匀，并偏离直线传播而出现衍射现象。2.光波面受限越厉害，衍射图样扩展越显著。光波面在衍射屏上哪个方向受限，接受屏上的衍射图样就在哪个方向扩展。3.衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和波长的相对大小，只有障碍物的线度和波长可以相比拟时，衍射现象才明显地表现出来。一些波的波长声波：几十米无线电波：可达几百米超声波：可小至几毫米微波：几毫米光波：约为390nm～760nm2、惠更斯原理的表述①任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面波；②在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。——“次波”假设。3、惠更斯原理的图示如下：2.1惠更斯-菲涅耳原理光学二、惠更斯原理1、波面——等相位点的轨迹波前——波源前的任何一个曲面惠更斯原理图示SΣ1Σ2rr=vt12.1惠更斯-菲涅耳原理光学4、惠更斯原理的成功与失败①可以解释光的直线传播、反射、折射和双折射现象；②“子波”的概念能定性解释光的拐弯现象，但不能说明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍射。也不能解释波的干涉现象（未涉及波长等）；③而且由惠更斯原理还会导致有倒退波的存在，而实际上倒退波是不存在的；④原理描述粗糙、简单，缺乏定量描述。2.1惠更斯-菲涅耳原理光学三、惠更斯-菲涅耳原理2.1惠更斯-菲涅耳原理光学菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，又增添了两条：1）提出了“子波相干叠加”的概念。从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。2)给出了子波的数学表达式。•1.惠更斯－菲涅耳原理•波面S上每个面积元dS都可以看成新的波源，它们均发出次波。波面前方空间某一点P的振动可以由S面上所有面积元所发出的次波在该点叠加后的合振幅来表示。面积元dS所发出的次波的振幅和相位符合以下四个假设：①所有次波都有相同的初相位（令0=0)②次波是球面波)cos(1tkrrdE③()dEKdSK():方向因子0,2)(,0maxKKKK(无倒退子波)④次波在P点处的相位落后于dS处振动的相位，落后的值为krr2ds子波源发出的子波在P点引起的振动为：()cosKdECtkrdSr波阵面上所有dS面元发出的子波在P点引起的合振动为:()cos()KEdECtkrdSr夫琅禾费衍射光源、屏与缝相距无限远缝菲涅耳衍射缝PS光源、屏与缝相距有限远1L2L在实验中实现夫琅禾费衍射SRP2.衍射现象的分类：§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射使用菲涅耳衍射积分公式计算菲涅耳衍射场十分复杂不易严格求解。在衍射屏具有对称性的一些简单情况下，用代数加法或矢量加法代替积分运算，可以十分方便地对衍射现象作定性或半定量的解释。本节主要介绍使用菲涅耳半波带法和矢量叠加法处理菲涅耳圆孔和圆屏衍射的问题。光学一、菲涅耳半波带现以点光源为例说明惠更斯－菲涅耳原理的应用。如图：O为点光源，S为任一时刻的波面，R为半径。为了确定光波到达对称轴上任一点P时波面S所起的作用，连O，P与球面相交于B0点，B0点称为P点对于波面的极点。令PB0＝r0，设想将波面分为许多环形带，使从每两个相邻带的相应边缘到P点的距离相差半个波长。OSPRB0B1B2B3r0r1=r0+λ/2r3=r0+3(λ/2)r2=r0+2(λ/2)rk=r0+k(λ/2)21231201kkrrrrrrrr即在这种情况下，由任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为/2，即它们的相位差为，这样分成的环形带叫做菲涅耳半波带，简称半波带。二、合振幅的计算以a1、a2、a3、…分别表示各半波带发出的次波在P点所产生的振幅。由于相邻两个半波带所发出的次波到达P点时相位相差，所以k个半波带所发出的次波在P点叠加的合振幅Ak为：kkkaaaaaaA154321)1(.......下面来比较a1、a2、a3、…的大小。按惠更斯—菲涅耳原理，第k个半波带所发次波到达P点的振幅为：kkkkrsKa为了计算kkrS如图，求球冠的面积：)(cosRRhRS122)cos1(22R（1）OR0BkBkkrl0rph由图可得（余弦定理）)2()(2)(cos02202rRRrrRRk将（1）、（2）式分别微分得dRdssin22)rR(Rdrrdsinkk0OR0BkBkkrl0rph)(cosRS122（1）由上两式可得：02rRRdrrdskk由上两式可得：02rRRdrrdskk因为rk，故可将drk看着相邻半波带间r的差值/2，ds看着半波带的面积，于是有0rRRrSkk由此可见：kkrS与k无关即它对每一个半波带都是相同的，所以只决定于倾斜因子K(k)了。kkkkrsKaOR0BkBkkrl0rph从一个半波带到与之相邻的半波带，k变化甚微。K(k)随着倾角的增大，而缓慢地逐渐减小。当k时，K(k)0由此可得kaaaaa4321缓慢ka由于任何相邻两带的对应部分所发出的次波到达P点时的光程差为/2，故它们的相位差逐个差。故P点处合振动的振幅为：由于各半波带在P点的振幅其大小是缓慢的单调下降，因此近似地有：22312aaa22534aaa22,11kkkaaa故P点处合振动的振幅为：对自由空间传播的球面波，波面为无限大，k，ak0，则对于给定轴线上的一点P的振幅为：1210aA即球面波自由传播时，每各球面波上各次波波源在P点产生的合振动等于第一个半波带在P点产生的振动振幅得一半，强度为它的4分之1。21410aI综合有：2)1(211kkkaaA各半波带在P点引起的振动可以用上下交替的矢量来表示。为清楚起见，将各矢量彼此错开，如图1a2a3a4a5akA2a3a4a5a6a1akA奇数个半波带偶数个半波带矢量a1的起点在某一水平基线上，其余各矢量的起点都与前一矢量的终点等高，从基线指向最末一矢量ak终点的即为合振动Ak的振动矢量。矢量合成法三、菲涅耳圆孔衍射光学§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射光学将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔1－2m处放置一接收屏，可观察衍射图样。根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数量有k个。OR0BkBkhRkrl0rkkaaA121kkaaA121P§2.2菲涅耳半波带菲涅耳衍射由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目。如图，O点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有k个整数半波带。hhkRR2022)(hrrRkhk202022hhrrrk由于hr0，则h2可略去)1(202022hrrrRkhkOR0BkBkhRkrl0rshP又因为2020202)2(rkrrrk)2(0rk(略去)422k)3(2)(222RhhRRRhk由（1）、（2）、（3）式可得0022rRRrkRRhhk)11(02RrRkh)1(202022hrrrRkhk)(200rRrkhOR0BkBkhRkrl0rshP由上式可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长，还有点光源到衍射屏距离R都有关。当Rh、R、一定时，改变r0，即改变光屏的位置，我们可以看到，光屏的中心点会有时明时暗的变化。)11(02RrRkhOR0BkBkhRkrl0rshP2hRhRhRhRhR)11(02RrRkh•P点的合振幅的大小取决于露出的波带数,而波带数又取决于圆孔的位置和大小．•如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些点，合振幅较小．•如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大值和最小值之间．•结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．四、菲涅耳圆屏衍射当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不透明，被圆屏挡住部分的波面对轴线上p点的光强将没有贡献。设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。这些半波带的次波在P点叠加后振幅为:21kpaA221mkPaaA因m，所以am0O波面SRB0r0rk=r0+k(λ/2)RhP4212kppaAI因此当k不是很大时，有即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。应该是一个亮点。11aak02124IaAIpp此亮点称为泊松（Possion1781—1840）亮斑。这是几何光学中光的直线传播所不能解释的。1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导出圆盘轴线上应是亮点。后来由阿拉果在实验中观察到圆屏衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯—菲涅耳原理的正确性。泊松（Poisson1781－1840）法国数学家。1812年当选为巴黎科学院院士。泊松对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。阿拉果（Arago1786－1853）法国科学家五、波带片从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带中，奇数序（1、3、5…….）（或偶数序）半波带所发出的次波在P点是同相位的，而奇数序和偶数序半波带所发出的次波在P点是反相的（相差π的奇数倍）。若做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数的半波带或序数为偶数的半波带透光，则P点的振幅为同相位各次波叠加，因此叠加后将会振幅很大。如图，若只允许序数为奇数的半波带透光，则P点的合振幅为:12531kPaaaaAkka12如图，若只允许序数为偶数的半波带透光，则P点的合振幅为:kPaaaaA2642此时P点为光强很强的亮点。把这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。kka2直线传播与衍射的联系•有遮