姚孟臣概率统计第二章

中国人民大学出版社12345随机变量与分布函数离散型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布随机变量函数的分布二维随机变量随机变量及其分布第二章中国人民大学出版社2.1随机变量与分布函数（一）（二）随机变量的概念分布函数中国人民大学出版社概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．为什么引入随机变量（一）随机变量的概念中国人民大学出版社抛掷骰子,观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX1{}(1,2,3,4,5,6).6PXii样本空间{1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有()X则有（一）随机变量的概念实例中国人民大学出版社掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:1(),反面朝上2(),正面朝上若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有()X1()反面朝上2()正面朝上101()0X2()1X是一个随机变量.（一）随机变量的概念例1()X中国人民大学出版社设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则,)(所需射击次数eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:.,3,2,1（一）随机变量的概念例2中国人民大学出版社某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,)(此人的等车时间eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:].5,0[（一）随机变量的概念例3中国人民大学出版社随机变量（一）随机变量的概念定义2.1在条件S下,随机试验的每一个可能结果{}Xx都是一个实数=()XX来表示，且X满足：（1）X由唯一确定；（2）对于任意给定的实数x，事件{}Xx都是有概率的，则称X是一个随机变量（randomvariable）用字母,,…或,,,XYZ表示,简记为R.V.中国人民大学出版社随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).说明(1)随机变量与普通的函数不同（一）随机变量的概念中国人民大学出版社随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.(3)随机变量与随机事件的关系（一）随机变量的概念中国人民大学出版社随机变量的分类离散型随机变量连续型非离散型混合型（一）随机变量的概念按随机变量的取值范围:一维随机变量二维多维三维…按描述问题所需变量个数:中国人民大学出版社离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X的可能值是:实例1,2,3,4,5,6.（一）随机变量的概念实例随机变量X为“灯泡的寿命”.).,0[连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为中国人民大学出版社对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值,要知道X取这些值的概率;而且更重要的是想知道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率.}{21xXxP}{}{12xXPxXP)(2xF)(1xF}{21xXxP分布函数).()(12xFxF?例如.],(21内的概率落在区间求随机变量xxX概念的引入（二）分布函数中国人民大学出版社说明(1)分布函数主要研究变量在某一区间内取值的概率..)()2(的一个普通实函数是分布函数xxF（二）分布函数分布函数定义2.1设X是随机变量，对任意实数x，令()(),(,)FxPXxx则称函数()Fx是为随机变量X的分布函数中国人民大学出版社定理2.1（二）分布函数设随机变量X的分布函数是()Fx，则（1）()Fx是单调不减函数，即12xx时，有12()()FxFx；（2）()Fx是非负有界，即0()1Fx，且()lim()0,()lim()1xxFFxFFx（3）()Fx是右连续函数，即(0)().FxFx分布函数的性质中国人民大学出版社重要公式),()(}{)1(aFbFbXaP).(1}{)2(aFaXP证明},{}{}{bXaaXbX因为,}{}{bXaaX},{}{}{bXaPaXPbXP所以).()(}{aFbFbXaP故（二）分布函数中国人民大学出版社例4（二）分布函数设随机变量X的分布函数为,0()0,0xabexFxx求常数,ab及概率(2)PX.()Fx设随机变量X的分布函数,则有lim()1xFx，故lim()1.xxabea解中国人民大学出版社()Fx在0x右连续，即(00)(0)0,FF即0,ab，则1ba，所以1,0()0,0xexFxx2(2)(22)(2)(2)1.PXPXFFe（二）分布函数中国人民大学出版社2.2离散型随机变量及其分布（一）离散型随机变量的分布（二）几种常见的离散型随机变量的分布中国人民大学出版社定义2.3（一）离散型随机变量的分布..,2,1,}{,}{,,),2,1(的分布律称此为离散型随机变量为的概率即事件取各个可能值的概率所有可能取的值为设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk1.分布律定义中国人民大学出版社离散型随机变量的分布律也可表示为nnpppxxxX2121~XkPnxxx21nppp21（一）离散型随机变量的分布1.分布律定义分布阵分布列中国人民大学出版社（一）离散型随机变量的分布2.分布律性质Xixxx21ippp21或性质1性质20,1,2,;kpk11.kkp中国人民大学出版社（一）离散型随机变量的分布X21012()kPXx31/82aaaa例1设随机变量X的分布列如下表所示：求：（1）常数a(2)(1),(20),(2).PXPXPX中国人民大学出版社（一）离散型随机变量的分布例1(2)(1)(2)(1)(0)=5/8;(20)(1)(0)=1/2;(2)(2)=1/4.PXPXPXPXPXPXPXPXPX解（1）由分布列的性质知：31/821aaaa因此1/8a中国人民大学出版社例4从5件产品(其中2件次品,3件正品)中任取2件,用X表示其中的次品数,写出X的分布律,写出分布函数()Fx,并画出其图形.解（一）离散型随机变量的分布随机变量X表示任意取出两件产品中的次品数,X的取值为0,1,2,它们的概率分别为:2325(0)0.3,CPXC中国人民大学出版社1123252225(1)0.6,(2)0.1,CCPXCCPXC则X的分布律为22325()(0,1,2)kkCCPXkkC（一）离散型随机变量的分布中国人民大学出版社当0x时，()()0FxPXx；当01x时，()()(0)0.3;FxPXxPX；当12x时，()()(0)(1)0.9;FxPXxPXPX；当2x时，()()(0)(1)(2)1;FxPXxPXPXPX（一）离散型随机变量的分布中国人民大学出版社分布函数0,0,0.3,01,()0.9,12,1,2.xxFxxx（一）离散型随机变量的分布中国人民大学出版社设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为XkP0p11p则称X服从(0-1)分布或两点分布.记为（二）几种常见的离散型随机变量的分布1.0-1分布~(1,)XBp中国人民大学出版社实例200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从0-1分布.XkP0120019020010（二）几种常见的离散型随机变量的分布1.0-1分布中国人民大学出版社（二）几种常见的离散型随机变量的分布2.二项分布设随机变量X的分布律为𝑃(𝑋=𝑘)=C𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛-𝑘(𝑘=0,1,2,…,𝑛;0𝑝1,𝑞=1-𝑝),则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X~B(n,p).对于二项分布,由于P(X=k)=C𝑛𝑘pkqn-k恰好是二项式(p+q)n的展开式中的通项,所以∑𝑘=0𝑛𝑃(𝑋=𝑘)=∑𝑘=0𝑛C𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛-𝑘=(p+q)𝑛=1,因为P(X=k)与二项式有关,二项分布因此而得名.中国人民大学出版社（二）几种常见的离散型随机变量的分布2.二项分布例3设某射手每次射击打中目标的概率为0.5,现在连续射击10次,求击中目标的次数X的概率分布;又设至少命中3次才可以参加下一步的考核,求此射手不能参加考核的概率.解这是一个10重伯努利试验,击中目标的次数X的可能取值为0,1,2,…,10,利用二项概型可求得𝑃(𝑋=𝑘)=C10𝑘0.5𝑘0.510-𝑘,k=0,1,2,…,10,即X~B(10,0.5).设A={此射手不能参加考核},有𝑃(𝐴)=𝑃(𝑋≤2)=∑𝑘=02𝑃(𝑋=𝑘)=∑𝑘=02C10𝑘0.5𝑘0.510-𝑘=0.0546875.中国人民大学出版社（二）几种常见的离散型随机变量的分布2.二项分布例4某人进行射击,每次击中目标的概率为0.01,问:独立射击400发时,击中目标的最可能成功次数是多少?并求该次数对应的概率.解显然独立射击400发中击中目标的次数X服从参数n=400,p=0.01的二项分布.由上面的讨论可知,击中目标的最可能成功次数=[(n+1)p]=[4.01]=4,而相应发生的概率为𝑃400(4)=C4004×0.014×0.99396≈0.19635.中国人民大学出版社（二）几种常见的离散型随机变量的分布3.泊松分布设随机变量X的分布为𝑃(𝑋=𝑘)=𝜆𝑘𝑘!e-𝜆(k=0,1,2,…,n,…;λ0),则称X服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ).服从泊松分布的随机变量是常见的.例如,放射性物质在某一段时间内放射的粒子数,某容器内的细菌数,布的疵点数,某交换台的电话呼唤次数,一页书中印刷错误出现的个数等,都服从或近似服从泊松分布.中国人民大学出版社（二）几种常见的离散型随机变量的分布3.泊松分布(泊松定理)设随机变量Xn(n=1,2,…)服从二项分布,即𝑃(𝑋𝑛=k)=C𝑛𝑘𝑝𝑛𝑘(1-𝑝𝑛)𝑛-𝑘,k=0,1,2,…,n,其中,pn(0pn1)是与n有关的数,且设npn=λ0是常数,则有lim𝑛→+∞𝑃(𝑋𝑛=k)=e-𝜆𝜆𝑘𝑘!,k=0,1,2,….注二项分布的极限分布为泊松分布.C𝑛𝑘𝑝𝑘(1-p)𝑛-𝑘≈e-𝜆𝜆𝑘𝑘!.在实际应用中,当n≥20,p≤0.05时,我们就可采用上述近似公式计算.定理2.1中国人民大学出版社（二）几种常见的离散型随机变量的分布3.泊松分布例5设生三胞胎的概率为10-4,求在10000次生育中恰有2次生三胞胎的概率.解设在10000次生育中生三胞胎的次数为X,则X~B(10000,10-4),故所求概率为𝑃(𝑋=2)=C100002(0.0001)2(1-0.0001)9998.显然直接计算是麻烦的,故用泊松分布求近似值.因n=10