名师PPT――圆的基本性质

圆的基本性质圆的基本性质(1)理解圆及其有关概念b(2)了解弧、弦、圆心角的关系a(3)探索并了解点与圆的位置关系c⑷探索圆的性质c⑸了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征a⑹了解三角形的外心a知识体系圆基本性质直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系概念对称性垂径定理圆心角、弧、弦之间的关系定理圆周角与圆心角的关系切线的性质切线的判定弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算位置分类性质圆的定义辨析篮球是圆吗？圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆，能画多少个？以点O为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系？点与圆的位置关系你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：点在圆上d=r点在圆内dr点在圆外drOCAB经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定在三角形内吗？OCAB∠C＝90°OCAB▲ABC是锐角三角形OCAB▲ABC是钝角三角形垂直于弦的直径及其推论想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。OBCDAE垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！OABE若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？2222adr变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDOABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____。FDFBOABCD变式4：______AC=BD.OA=OBOABCD变式5：______AC=BD.OC=OD如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MAPBO关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。OBCDAE如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。FOBAECD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。定理相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，OABCA'B'C'圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）1°圆心角1°弧OABCDn°圆心角n°弧把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一般地，n°的圆心角对着n°的弧。圆周角OBACOBCAOCAB圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角:顶点在圆心的角.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半OCABOCABOCAB化归化归圆周角定理分类讨论完全归纳法OCAB1、已知∠AOB＝75°，求：∠ACBOCAB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACBODBAC3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOBOBAC4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？OBADEC如图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小同弧所对的圆周角相等如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？DCEBFAO等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等DCEO1BFAO2如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？等圆也成立推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。OBACDOCBAFEDOBADEC推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。什么时候圆周角是直角？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？关于等积式的证明如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PDCDPBAO经验：•证明等积式，通常利用相似；•找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线问题（1）：你能找出图中相等的圆周角和相等的线段吗?OPDCBA问题（2）：图中有哪些相似的三角形？问题（3）：若点C在圆上上运动（不和A，B重合），在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发生了改变？OPDCBA如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线问题（4）：若弦AB=,∠BAD=30°,在点C运动的过程中,四边形ADBC的最大面积为多少?此时∠CAD等于多少度?3OPDCBA如图，弦AB和CD交于点P,且CD是∠ACB的平分线问题（5）：若弦AB=,∠BAD=30°,在点C运动的过程中,当∠CAD等于多少度时,四边形ADBC是梯形?证明你的理由32、如图，在△ABC中，∠A＝40°O是△ABC的外心，则∠BOC＝.80°如果O为内心，∠BOC＝110°CABO1、判断：三点确定一个圆（）练习3.如图所示，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE＝1cm,EF=3cm,则AB＝cm。4.若AB分圆为1∶5两部分，则劣孤AB所对的圆周角为()A.30°B.150°C.60°D.120°5A6.下列说法中，正确的是()A.到圆心的距离大于半径的点在圆内B.圆周角等于圆心角的一半C.等弧所对的圆心角相等D.三点确定一个圆C5、如图所示，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是()A.180°B.150°C.135°D.120°A7、已知⊙O的面积为16π.（1）若PO＝2.8，则点P在⊙O_______.（2）若PO＝4，则点P在⊙O_______.（3）若PO＝5.8，则点P在⊙O_______.（1）Ｒ＝＿＿时，⊙Ｃ与ＡＢ相切．（2）Ｒ＿＿时，⊙Ｃ与ＡＢ相交．（3）Ｒ＿＿时，⊙Ｃ与ＡＢ相离．8、如图，Rt∆ABC的斜边AB＝１０，AB＝６，BＣ＝８，以Ｃ为圆心作圆，半径为Ｒ．ACB例1；(1)如图,已知AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF分别为AB、CD的弦心距,如果AB=CD,则可得出(至少填写两个)∠AOB=∠COD,,ABCDOE=OFOAEBCFD图1ABCO图2(2)如图2,在⊙O中,弦AB=1.8cm,∠ACB=30°,则⊙O的直径等于(3)如图3,AB是半圆O的直径,E是弧CB的中点,OE交弦BC于点D,已知BC=8cm,DE=2cm.则AD的长为cmAOBECD图33.6cm213例题讲解例2、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。OBAC例题讲解例3、如图，在⊙O中，AC=BD，(1)图中有哪些相等关系？(2)如果∠1=45°，求∠2的度数。(3)如果AD是⊙O的直径，∠1=45°求∠BDA的度数．21ODACB例4:如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E.ABDCEO(1)△ADE～△BCE吗？说明理由;(2)若CD=OC,求sinB的值.解:△ADE～△BCE∵∠A=∠B,∠D=∠C∴△ADE～△BCE(1)(2)若CD=OC,则AC=2DC,又∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°sinsinDCBAAC12【例5】如图，A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，过点A且长小于8的弦有()A.0条B.1条C.2条D.4条A【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于OA的弦长BC=2=8即过A点最短的弦长为8，故没有弦长小于8的弦，∴选(A)22OAOB典型例题解析典型例题解析【例6】在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2)图(1)中OC==120(mm)∴CD=80(mm)图(2)中OC=120(mm)∴CD=OC+OD=320(mm)2222160200BCOB【例7】如图，O是∠CAE平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连结BD、CE.求证：(1)BC=DE(2)AC=AE(3)DB∥CE.典型例题解析【解析】(1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，又已知OA是∠CAE的平分线，联想到角平分线性质，故过O分别作OG⊥AC于G，OH⊥AE于H，∴OG=OH∴BC=DE(2)由垂径定理知：BC=DE，G、H分别是BC、DE的中点.再由△AOG≌△AOHAG=AHAB=ADAC=AE.(3)AC=AE∠C=∠E，再根据圆的内接四边形的性质定理知∠C=∠ADB∠E=∠ADBBD∥CE.课时训练1.如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说法或等式：①r=d+h②4r2=4d2+a2③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是()A.①B.①②C.①②③D.②③C2.下列命题中，正确的是（多项选择题）()A.一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外B.一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线C.两圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线D.圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点A、C、D3.如图所示，已知RtΔABC中，∠C=90°,AC=,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，则AP＝。2334.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AmB上,则∠C=。30°5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角为()A.60°B.120°C.45°D.60°或120°D6.(2003年·江苏苏州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=()A．35°B.70°C．110°D.140°D3例1(1)⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P为圆心,且与⊙O相切的圆的半径一定是()A.1或5B.1C.5D.1或4(2)若半径分