2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第三章第5课时

第5课时三角函数的图象和性质第三章三角函数、解三角形第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测三角函数的图象和性质{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈R第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx值域[－1，1][－1，1]R单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z上递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]，k∈Z上递减在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上递增；在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k∈Z上递增第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝_____________时，ymax＝1；x＝_____________时，ymin＝－1x＝____________时，ymax＝1；x＝_____________时，ymin＝－1无最值奇偶性奇_____奇对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z___________(kπ2,0),k∈Z对称轴x＝kπ＋π2,k∈Z____________无周期______2πππ2＋2kπ(k∈Z)－π2＋2kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)偶(kπ＋π2,0),k∈Zx＝kπ,k∈Z2π第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测温馨提醒：(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象．(2)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.(3)求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测D1．函数y＝tanπ4－x的定义域是()A.x|x≠π4，x∈RB.x|x≠－π4，x∈RC.x|x≠kπ－3π4，k∈Z，x∈RD.x|x≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测2．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2πC解析：作出函数y＝|sinx|的图象，观察可知，函数y＝|sinx|在π，3π2上递增．第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测3．(2013·高考天津卷)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()A．－1B．－22C.22D．0B解析：∵x∈0，π2，∴－π4≤2x－π4≤3π4，∴当2x－π4＝－π4时，f(x)＝sin2x－π4有最小值－22.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测4．函数y＝sin(x＋π4)的对称中心为_____________________．(kπ－π4，0)，k∈Z5．(2013·高考江西卷)函数y＝sin2x＋23sin2x的最小正周期T为________．π解析：由于y＝sin2x＋23sin2x＝sin2x＋3(1－cos2x)＝sin2x－3cos2x＋3＝2sin2x－π3＋3，∴T＝2π2＝π.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测三角函数的定义域和值域(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为______________________________________；(2)当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________________，最大值是________．x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z782第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测[解析](1)要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0，2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)∵x∈π6，7π6，∴sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78.∴当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(1)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法：①利用sinx和cosx的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．③把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．④利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测1．(1)函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域为_________________________；(2)函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域为_________________．x|0＜x＜π2或π≤x≤4[－1，12＋2]第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测解析：(1)要使函数有意义则2＋log12x≥0x＞0tanx≥0x≠kπ＋π2，k∈Z⇒0＜x≤4，kπ≤x＜kπ＋π2（k∈Z）.利用数轴可得函数的定义域是x|0＜x＜π2或π≤x≤4.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12(－2≤t≤2)．y＝t＋12t2－12＝12(t＋1)2－1，当t＝2时，y取最大值为2＋12，当t＝－1时，y取最小值为－1.∴函数值域为[－1，12＋2]．第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测三角函数的单调性已知函数f(x)＝（sinx－cosx）sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测[解](1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝（sinx－cosx）sin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为[kπ－π8，kπ)和(kπ，kπ＋3π8](k∈Z)．第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(1)熟记y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把ω化为正数．第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测2．求下列函数的单调区间：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.解：(1)y＝－sin2x－π3，它的增区间是y＝sin2x－π3的减区间，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z.故所给函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z；增区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.(2)观察图象(图略)可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测三角函数的周期性、奇偶性与对称性(1)(2013·高考湖北卷)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.π12B.π6C.π3D.5π6B第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)(2014·浙江省名校联考)当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f(3π4－x)是()A．奇函数且图象关于点(π2，0)对称B．偶函数且图象关于点(π，0)对称C．奇函数且图象关于直线x＝π2对称D．偶函数且图象关于点(π2，0)对称C第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测[解析](1)由于y＝3cosx＋sinx＝2cosx－π6，向左平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝2cosx＋m－π6的图象．由于该图象关于y轴对称，所以m－π6＝kπ(k∈Z，m0)，于是m＝kπ＋π6(k∈Z，m0)，故当k＝0时，m取得最小值π6.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(2)当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则π4＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，则φ＝2kπ－3π4，k∈Z，于是函数y＝f(3π4－x)＝－Asinx，显然该函数是奇函数且图象关于直线x＝π2对称，故选C.第三章三角函数、解三角形栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现课后达标检测(1)三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．(2)求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象．(3)三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．提醒：判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原