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第6课时不等式的证明第六章不等式、推理与证明第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测1．不等式的证明(1)证明不等式的基本方法有哪几种？提示：___________________________________________________.比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测(2)比较法①作差比较法：欲证ab，即证________．②作商比较法：若a，b∈R*，欲证ab，即证________．(3)综合法和分析法①从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种方法叫做__________，又叫顺推证法或由果导因法．②证明命题时常常从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的______条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做__________．a－b0ab1综合法充分分析法第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测(4)反证法与放缩法①先假设要证的命题不成立，提出与原命题结论相反的假设，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)______的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做________．②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值______________简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法叫做放缩法．矛盾反证法放大或缩小第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测(5)反证法适用于哪些类型的不等式？提示：_______________________________________________________________________________________________________________________.2．数学归纳法用数学归纳法证明一个命题的步骤是什么？①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N＋)，且k≥n0时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．反证法适用于含有下列词语的命题：“至多”、“至少”、“不多于”、“不少于”、“对任意的”、“存在一个”等第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测1．若0ba，则()A.2a＋ba＋2babB.b2＋1a2＋1b2a2C．a＋1ab＋1bD．aab解析：因为0ba，所以b2＋1a2＋1－b2a2＝a2－b2a2（a2＋1）0.B第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测2．已知1x3，M＝3x2－x＋1，N＝4x2－5x＋4，则()A．MNB．M＝NC．MND．M与N大小不确定解析：M－N＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，x∈(1，3)，则M－N0.所以MN.C第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测解析：M－N＝x2＋y2－xy＝x－y22＋34y2≥0.3．已知x，y∈R，M＝x2＋y2，N＝xy，则M________N．(填“，≥，＝，≤，”)≥第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测4．若ab0，则下列不等式：①aab；②|a||b|；③a2b2.正确的不等式有__________．(把正确的序号填在横线上)解析：由ab0，可知|a||b|，②正确，故a2b2，③正确．①不正确．②③第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测5．已知a，b，c∈R＋，且abc，则ab，bc，ac按从大到小的顺序排列的结果为__________________．abacbc解析：因为a，b，c∈R＋，且abc，所以abc.由bc⇒abac，由ab，得acbc，所以abacbc.第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测利用比较法证明不等式设a＋b0，n为偶数，求证：bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b.[证明]bn－1an＋an－1bn－1a＋1b＝（an－bn）（an－1－bn－1）（ab）n.当a0，b0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n0.所以（an－bn）（an－1－bn－1）（ab）n≥0.第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测故bn－1an＋an－1bn≥1a＋1b.当a、b有一个为负值时，不妨设a0，b0.因为a＋b0，所以a|b|，又n为偶数，所以(an－bn)(an－1－bn－1)≥0.又(ab)n0，故（an－bn）（an－1－bn－1）（ab）n0.所以bn－1an＋an－1bn1a＋1b，综上知，原不等式成立．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测比较法是不等式证明的最基本的方法，常见的方法有作差法和作商法，以作差法为主．作差法证明不等式的步骤：作差——变形——判定符号——结论．其中变形的目的是能判断出差式的符号，常用分解因式和配方两种变形方式．对含有变量的不等式证明还需分类讨论．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测1．设a0，b0，且a≠b，证明aabb(ab)a＋b2.证明：因为aabb（ab）a＋b2＝aa－a＋b2bb－a＋b2＝aa－b2bb－a2＝(ab)a－b2，当ab0时，ab1，a－b20，由指数函数的性质知(ab)a－b21，所以aabb(ab)a＋b2.当ba0时，0ab1，a－b20，由指数函数的性质知(ab)a－b21，所以aabb(ab)a＋b2.综上知aabb(ab)a＋b2.第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测利用综合法与分析法证明不等式(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.[证明]要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.因为a0，故只需证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即只需证a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，从而只需证2a2＋1a2≥2(a＋1a)．只需证4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，而该不等式显然成立．故原不等式成立．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测(1)用综合法证明不等式常常要观察不等式两边的变量和整体形式变化，应用基本不等式，或构造函数利用单调性和利用其它已知结论对不等式进行证明．在证明的过程中要正确运用不等式的有关性质及重要的结论，并且要注意分析法与综合法的结合使用．(2)分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体地说，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题或是要证命题的已知条件时则所证命题得证．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测2．已知a、b、c0，求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．证明：因为a2＋b2≥2ab，所以(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)．即a3＋b3＋a2b＋ab2≥2a2b＋2ab2，所以a3＋b3≥a2b＋ab2.同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.所以3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．所以a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测利用反证法与放缩法证明不等式求证：32－1n＋11＋122＋132＋…＋1n22－1n(n≥2，n∈N*)．[证明]因为k(k＋1)k2k(k－1)，k≥2，所以1k（k＋1）1k21k（k－1），即1k－1k＋11k21k－1－1k，分别令k＝2，3，…，n得12－131221－12；13－1413212－13；…第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测1n－1n＋11n21n－1－1n；将上述不等式相加得12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1122＋132＋…＋1n21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n，即12－1n＋1122＋132＋…＋1n21－1n，所以32－1n＋11＋122＋132＋…＋1n22－1n.第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.[证明]假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则|f(1)|12，|f(2)|12，|f(3)|12.即有－12f(1)12，－12f(2)12，－12f(3)12.所以－2f(1)＋f(3)－2f(2)2.又f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2，则f(1)＋f(3)－2f(2)＝2与－2f(1)＋f(3)－2f(2)2矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k21k（k－1），1k21k（k＋1），1k2k＋k－1，1k2k＋k＋1，上面不等式中k∈N＋，k1.利用函数的单调性，真分数性质“若0ab，m0，则aba＋mb＋m”，添加或减少项，利用有界性等．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．(3)反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A.即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．第六章不等式、推理与证明栏目导引教材回顾夯实双基考点探究讲练互动课后达标检测3．设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：