高中数学 三角函数的图象与性质 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质课件 新人教A版必修4

一、1.周期函数的定义一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做，不为零的常数T叫做这个函数的．2．y＝sinx，y＝cosx都是周期函数，其周期是，最小正周期是.不为零f(x＋T)＝f(x)周期函数周期2kπ(k∈Z，k≠0)2π3．y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期为.4．y＝sinx(x∈R)的奇偶性为：奇函数；单调性为：在每一个区间[2kπ－π2，2kπ＋π2]，(k∈Z)上都是增函数，在每一个区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2]，(k∈Z)上都是减函数；图象的对称特征为：关于每一个点(kπ，0)(k∈Z)成中心对称，关于每一条直线x＝kπ＋π2，(k∈Z)成轴对称；当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y取最大值1，当x＝2kπ＋3π2(k∈Z)时，y取最小值－1.即|sinx|≤1，此性质常称作正弦函数的有界性．5．y＝cosx(x∈R)的奇偶性为：函数；单调性为：在每一个区间上都是增函数，在每一个区间上都是减函数；图象的对称特征为：关于每一个点成中心对称，关于每一条直线成轴对称；当x＝时，y取最大值，当x＝时，y取最小值.偶[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)x＝kπ(k∈Z)2kπ(k∈Z)12kπ＋π(k∈Z)－1二、你能解答下列问题吗？1．y＝2sin2x－π3的周期为________，y＝－3cos23x＋π4的周期为________．[答案]π3π[答案]3{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}2．函数y＝3sinx的最大值为________，取到最大值时，x的取值集合为________．3．函数y＝－2cosx的最小值为________，取到最小值时，x的取值集合为________．[答案]－2{x|x＝2kπ，k∈Z}4．由y＝cosx在[0，π]上是减函数可比较cos2π5与cos3π7的大小，结果为________．[答案]cos2π5cos3π75．函数y＝sin2x＋5π2图象的一条对称轴的方程是()A．x＝－π2B．x＝－π4C．x＝π8D．x＝5π4[答案]A[解析]由2x＋5π2＝kπ＋π2得，x＝kπ2－π，k∈Z.令k＝1知选A.也可以由y＝sin2x＋5π2＝sin2x＋π2＝cos2x知，对称轴方程为2x＝kπ，∴x＝kπ2，取k＝－1知选A.重点：正弦函数、余弦函数的性质．难点：①函数周期的理解．②函数在每一个单调区间上的单调性与在定义域上不单调的特征．③函数图象的对称性．1．对函数周期的理解需注意以下几点：(1)一定要注意是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数，自然也就没有周期T.(2)周期T并不唯一，即若T为函数y＝f(x)的周期，则2T,3T，…，nT，n∈Z，都为其周期．(3)由于周期的不唯一性，为了研究的方便，我们需要确定一个可以方便研究的T，于是，若所有的周期中，存在一个最小的正数，我们便称它为最小正周期，以后若没有特别指出，往往指的是最小正周期．(4)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．(5)周期函数的定义域：如果f(x)是周期函数，T为其周期，那么x＋kT(k∈Z)也属于其定义域，也就是说，周期函数的定义域是一个无限集．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω0)是由y＝Asint和t＝ωx＋φ组成的复合函数，因此可利用函数y＝Asint的周期来求它的周期，求解过程如下：令t＝ωx＋φ，设Asin[ω(x＋T)＋φ]＝Asin(ωx＋φ)对任意实数x都成立．即Asin(t＋ωT)＝Asint对任意实数t都成立，∴ωT为y＝Asint的周期．由函数y＝Asint的最小正周期为2π，可知ωT的最小值为2π，即T的最小值为2πω，故y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为2πω.同理可推出当ω∈R且ω≠0，A0时，y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|.3．正弦函数、余弦函数都有无穷多个单调区间，但在两个单调增(或减)区间的并集上不单调，这一点要特别注意．4．正弦(余弦)函数的对称轴一定经过图象的最高(或最低)点，对称中心在x轴上．[例1]求下列函数的周期．(1)y＝cos2x；(2)y＝sin12x；(3)y＝2sinx3－π6；(4)y＝－2cos－12x－1；(5)y＝|sin2x|.[解析](1)把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π，这就是说当u增加到u＋2π且必须增加到u＋2π时，函数cosu的值重复出现．而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须增加到x＋π时，函数值重复出现，因此y＝cos2x的周期为π.(2)如果令t＝12x，则y＝sint是周期函数，且周期为2π.∴sin12x＋2π＝sin12x，即sin12(x＋4π)＝sin12x.∴y＝sin12x的周期为4π.(3)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6.即2sin13(x＋6π)－π6＝2sinx3－π6.∴y＝2sinx3－π6的周期是6π.(4)y＝－2cos－12x－1＝－2cos12x＋1，T＝2π12＝4π.(5)因为y＝|sinx|的周期是2π2＝π，故y＝|sin2x|的周期是π2.[点评]一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都是2π|ω|.(1)函数y＝sin12x＋3的最小正周期为______．(2)函数y＝－2cos32x＋π4的最小正周期为________．[答案](1)4π(2)4π3[例2]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝1＋sinx－cos2x1＋sinx.[分析]根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．[解析](1)函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，∴f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)要使函数有意义，应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为xx∈R，且x≠2kπ＋3π2，k∈Z.∴函数的定义域不关于原点对称．∴函数既不是奇函数也不是偶函数．[点评]当所要判断奇偶性的函数表达式比较复杂时，可以先化简再判断，但化简必须保持“等价”，即化简过程中定义域是否发生变化要心中有数．(2)中f(x)＝sin2x＋sinx1＋sinx＝sinx，仅看最后表达式sinx很容易误判为奇函数，但它实际是非奇非偶函数，因为在化简“约分”时，约去1＋sinx后定义域发生了变化，∴原函数应为f(x)＝sinx(1＋sinx≠0)，而不是f(x)＝sinx.事实上，此函数的定义域关于原点不对称．函数f(x)＝sin3x4＋3π2的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．以上都不对[答案]B[例3]求下列函数的单调区间．(1)y＝2sinπ4－x；(2)y＝cos2x.[分析]将(1)先用诱导公式化为y＝－2sinx－π4，然后依据y＝sint与y＝cost的单调区间和复合函数单调性的判断方法求解．[解析](1)y＝2sinπ4－x化为y＝－2sinx－π4.∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴函数y＝－2sinx－π4的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)①2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)②解①得，2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，解②得，2kπ－π4≤x≤2kπ＋3π4(k∈Z)．故函数y＝2sinπ4－x的单调增区间、单调减区间分别为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)、2kπ－π4，2kπ＋3π4(k∈Z)．(2)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②解①得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，解②得，kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)．故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为kπ－π2，kπ(k∈Z)、kπ，kπ＋π2(k∈Z)．求函数y＝sin3x－π3的单调区间．[解析]解y＝sinu在区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)上是增函数，在区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)上是减函数．由2kπ－π2≤3x－π3≤2kπ＋π2解得，2kπ3－π18≤x≤2kπ3＋5π18，由2kπ＋π2≤3x－π3≤2kπ＋3π2解得，2kπ3＋5π18≤x≤2kπ3＋11π18.∵u＝3x－π3为增函数，∴原函数的单调增区间为2kπ3－π18，2kπ3＋5π18(k∈Z)．单调减区间为2kπ3＋5π18，2kπ3＋11π18(k∈Z)．[例4]比较下列各组数的大小．(1)cos32，sin110，－cos74；(2)sinsin3π8，sincos3π8.[分析]三角函数值的大小比较，一般考虑应用诱导公式化到同一个单调区间内；有时候也用三角函数线等方法比较其大小，不同名的欲应用单调性，须先化同名．[解析](1)∵sin110＝cosπ2－110≈cos1.47，－cos74＝cosπ－74≈cos1.39，cos32＝cos1.5，又01.391.471.5π，y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cos1.5cos1.47cos1.39.即cos32sin110－cos74.(2)∵cos3π8＝sinπ2－3π8＝sinπ8，∵0π83π8π2，y＝sinx在0，π2上是增函数，∴0sinπ8sin3π81π2，又∵y＝sinx在0，π2上是增函数，∴sinsinπ8sinsin3π8.故sincos3π8sinsin3π8.[点评]比较两个函数值大小时，一般先利用诱导公式把它们化为同名三角函数，再把它们转化到同一单调区间上，利用函数单调性对它们进行比较．已知α、β∈0，π2，且cosαsinβ，比较α＋β与π2的大小结果为________．[答案]α＋βπ2[解析]∵α、β∈0，π2，∴π2－α∈0，π2.∵cosαsinβ，∴sinπ2－αsinβ.∵sinx在0，π2上是增函数，∴π2－αβ.∴α＋βπ2.[例5]设θ是不等边三角形的最小内角，且sinθ＝a＋1a－1，求实数a的取值范围．[错解]∵θ是三角形的最小角，∴θ一定是锐角，即0°θ90°.∴0sinθ1，得0a＋1a－11.解得：a－1.[辨析]解答忽视了以下内容：三角形中的最小角θ的范围不是0°θ90°，而是0°θ≤60°，又∵三角形是不等边三角形，故0°θ60°.