高中数学 第一章 等比数列的通项与求和典型例题剖析素材 北师大版必修5

等比数列的通项与求和一、知识导学1.等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2.等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ为ａ和ｂ的等比中项．3.等比数列的前n项和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqanSnnn二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为nnqqaa1.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而xqqay1是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数xqqay1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，nS，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲[例1]已知数列na的前n项之和Sn=aqn（qqa,1,0为非零常数），则na为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：)1(111qaqaqaqSSannnnnn)1(11qaqSSannnnqaann1（常数）na为等比数列，即B。错因：忽略了1nnnSSa中隐含条件n＞1.正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;当n1时，)1(11qaqSSannnnqaann1（常数）但qqaa112na既不是等差数列，也不是等比数列，选C。[例2]已知等比数列na的前n项和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于.错解：S30=S10·q2.q2＝7，q＝7，S40=S30·q=770.错因：是将等比数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.正解：由题意：701)1(101)1(301101qqaqqa得)(3210110101舍去或qqqa，S40=20011401）（qqa.[例3]求和：a+a2+a3+…+an.错解：a+a2+a3+…+an＝aan11.错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;当a1时，a+a2+a3+…+an＝aan11.[例4]设dcba,,,均为非零实数，0222222cbdcabdba，求证：cba,,成等比数列且公比为d。证明：证法一：关于d的二次方程0222222cbdcabdba有实根，∴0)(44222222cbbacab，∴022acb则必有：02acb，即acb2，∴非零实数cba,,成等比数列设公比为q，则aqb，2aqc代入02422222222qaqadaqaaqdqaa∵0122aq，即0222qqdd，即0qd。证法二：∵0222222cbdcabdba∴022222222cbcddbbabdda∴022cbdbad，∴bad，且cbd∵dcba,,,非零，∴dbcab。[例5]在等比数列nb中，34b，求该数列前7项之积。解：45362717654321bbbbbbbbbbbbbb∵53627124bbbbbbb，∴前七项之积2187333732[例6]求数列}21{nn前n项和解：nnnS21813412211①12121)1(161381241121nnnnnS②两式相减：112211)211(21212181412121nnnnnnnSnnnnnnnS2212)2211(211[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：a1=0.2（kg）,a2=21×0.2（kg）,a3=(21)2×0.2（kg）由此可见：an=(21)n1×0.2（kg）,a5=(21)51×0.2=(21)4×0.2=0.0125（kg）。(2)由(1)得{an}是等比数列a1=0.2,q=21)(003125.0200625.0)(00625.039375.04.0)(39375.0211)211(2.01)1(6616kgkgkgqqaS答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1)a1=2,a3=82)a1=5,且2an+1=3an3)a1=5,且11nnaann2.在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a.3.已知无穷数列,10,10,10,1051525150n，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列na为1324,3,2,1nnxxxx0x求此数列前n项的和。5.已知数列{an}中，a1=2且an+1=Sn，求an,Sn6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列na中，400,60,364231nSaaaa，求n的范围。