2012-2013学年第1学期大气科学专业流体力学第6章(旋转流体动力学)

1流体力学李忠贤E-mail:[e-mail]南京信息工程大学大气科学学院2012~2013学年第1学期课程2第六章旋转流体动力学前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的，并没有考虑地球的旋转效应。地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应，将会对地球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影响。大多数的地球物理流体力学所关心的问题均属于旋转流体动力学问题。3高压低压4高压低压5主要内容第一节旋转参考系中的流体运动方程第二节旋转流体的无量纲方程和罗斯贝数第三节普鲁德曼—泰勒定理第四节地转流动本章将主要介绍考虑旋转效应下的流体运动。6第一节旋转参考系中的流体运动方程eaVVVeVr惯性坐标系与旋转坐标系中的运动速度之间满足：绝对速度相对速度牵连速度牵连速度：7adrdrrdtdt速度---矢径随时间的变化eaVVVadddtdt引进微分算子：①②③①绝对变化项②相对变化项③牵连变化项8adddtdt上述算子适用于矢量的情形，标量在绝对坐标系和相对坐标系中的时间微商相同。adFdFdtdt9adAdAAdtdt该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。对于任意矢量，满足：A1011牛顿第二定理是建立在惯性坐标系的基础上的，即：aaiidVFdt以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。12aadVrdVVrdtdt2()aadVdVVrdtdtaaaadVdVVdtdtadAdAAdtdtaVVr132()aadVdVVrdtdt2()()rRRRr22aadVdVVRdtdt142212dVFpVVRdt22aadVdVVRdtdt惯性离心力地转偏向力考虑不可压缩黏性流体的运动方程：21aadVFpVdt真实力15212dVgpVVdt万有引力（地心引力）与惯性离心力合成重力项，于是：R2gF即为旋转流体力学运动方程。16地转偏向力的讨论：引入旋转坐标系之后或者说考虑了地球旋转效应之后，出现了地转偏向力。地转偏向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向；沿着流向观测，对于地球流体运动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。2V2kV17地转偏向力的出现，完全是由于地球旋转参考系下观测流体运动所产生的旋转效应，当坐标不旋转时，惯性离心力和偏向力均不出现，运动方程退化为N-S方程。在地球物理流体力学或大气动力学中，流体运动方程大多数是采用旋转流体运动方程的（除小尺度运动外）。但必须注意：旋转效应与流体运动的尺度密切相关。18第二节旋转流体的无量纲方程和Rossby数本节将导出旋转流体运动的无量纲方程，为旋转流体运动方程的分析和简化提供依据，并介绍旋转流体力学中常用到的特征Rossby数。19一、选取特征尺度（特征值）首先选取进行尺度分析所需的各物理量的特征尺度：特征长度尺度----------------------------L特征速度尺度----------------------------U特征时间尺度----------------------------T重力加速度特征量----------------------g密度特征量------------------------------旋转参考系的自转角速度特征量---0212dVgpVkVdt2022020LU、考虑到讨论1的极限情形，通常选取最大有效尺度作为压力差的尺度。LU/220L特征压力差可以取两种不同的尺度：21二、旋转流体运动的无量纲方程212dVgpVkVdt21()2VVVpgVkVtTULU2LL02202LUUgT1LUUL2L1Ug222211()()2VULgVVpgVkVTtLUULRO1/FrEk旋转流体运动的无量纲方程200111()2krLVRVVpgEVkVUTtRF22211()2ULVgVVpgVkVULUTtLLL23是衡量旋转效应的一个重要量。LUULUR//20特征偏向力特征惯性力特征罗斯贝数24由Rossby数的定义可知：RO1，偏向力的作用大，旋转效应重要；RO1，偏向力的作用小，可不考虑旋转效应。实际应用中（地转效应）：大尺度运动（L≥103km），流速缓慢（U≤10ms-1），RO1，旋转效应重要，采用旋转流体运动方程；中小尺度运动（L≤102km），流速快（U≥10ms-1），RO1，可以不考虑地球的旋转效应，采用一般的流体运动方程。注：这里流速的快慢是相对的概念。0/RUL25第三节泰勒－普鲁德曼定理旋转与非旋转流体动力学的本质差别在于（地转）偏向力的作用。旋转流体运动的无量纲方程为：200111()2krLVRVVpgEVkVUTtRF为了突出旋转流体的主要特征，下面着重讨论偏向力有重要作用的流体运动，此时，在运动方程中，偏向力项远远大于惯性项和黏性项。26普鲁德曼--泰勒定理：不可压或正压流体，在有势力作用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应，其速度将与垂直坐标无关，流动趋于2维化。27假定流体运动满足：RO1或者RO0（即Rossby数很小）；kE0同时要求：ROL/UT0（即要求T很大，1/T0，即准定常流动）。200111()2krLVRVVpgEVkVUTtRF200111()2krLVRVVpgEVkVUTtRF28此时，无量纲方程变为：01112kVpgRFr200111()2krLVRVVpgEVkVUTtRF29方程进一步处理：考虑压力梯度力项（两种情况）：①假设流体不可压：)(1ppconst②正压流体：)()(11pFppfp)()(pfpf可见：上述两种情况下均可将流体的压力梯度项表示为某个函数的梯度。1p30重力项：gFr11,ggggFrzkFrgFr)(11考虑3101112kVpgRFr012()zkVFpRFr方程变为：无量纲方程①流体不可压②正压流体或者有势力32012()zkVFpRFr()()()()()abbaababba(kV)(V)k(k)Vk(V)V(k)根据矢量运算法则()0kV对上式取旋度33由于是常矢量，而由不可压连续方程可知，于是：k0V()()0kVkV(kV)(V)k(k)Vk(V)V(k)①②③①、③＝0②＝034kwjviuV0///zwzvzu流体运动不随高度变化。最后有：0/0)(zVVk35考虑下边界平坦时，边界条件为：0,0(z)0zww00//wzvzu此时，流体无垂直运动，运动为水平的，且水平运动不随高度变化，即为水平的二维运动。任何高度上恒有：/0wz3612pgV由它所控制的流体运动称之为地转运动（三力平衡）。第四节地转流动旋转流体运动中的地转偏向力作用为主要作用项，加速度项和黏性项可忽略不计.212dVgpVVdt3712pgV为了更好地说明地转流动现象，对方程进行必要的变形：分析方程在局地直角坐标中的形式：xyzkwjviuV38sincos0kjikgg在局地直角坐标中的分量形式为：而重力项则具有如下形式：cossin39220cossin2sin2cos2sin2cosijkVuvwivwjukusincos0kji40guzpuypwvxpcos2sin2cos2sin2于是，可以得到地转运动方程的分量形式：sin2f略去量级较小的项，并令gzpfuypfvxp地转参数（地转涡度）41gzpfuypfvxp以上就是动力气象学中常用的地转运动方程和静力平衡方程三力平衡。可以将其写成如下的近似式：地转运动方程静力平衡421Vkpf10pfkV水平压力梯度力与水平柯氏力平衡的运动。地转流动的运动特征是：流速垂直于气压梯度力，平行于等压线。水平运动满足下式：43中纬度大气的准地转运动特征（冬季850百帕高度场与风场）低压高压高压44P0P1P2气压梯度力柯氏力1Vkpf45根据地转平衡原理，分析以下两种情况下的流体运动，其中闭合线为等压线，（a）中心为高压；（b）中心为低压。（要求在图中标示出气压梯度力、偏向力及流体的运动方向）高压低压46§1旋转参考系中的流体运动方程（1）旋转流体运动方程；（2）偏向力的物理含义；（3）旋转流体与一般流体运动的本质差别。§2旋转流体的无量纲方程和Rossby数（1）旋转流体的无量纲方程；（2）特征Rossby数的定义及物理含义。§4地转流动（1）地转流动的概念及其描述方程（2）地转流动的实际应用小结