事故树计算的数学知识(一)

LOGO《安全评价》教材辅导资料ShigushuFenxizhongdeShuxueJichuzhishiPhone：13708034179E-mail:[e-mail]注册管理咨询师注册安全评价师江光平制作本教案涉及的主要内容事故树数学基础知识ShuxueJichuzhishi1.集合的基本关系和运算2.逻辑运算3.概率及运算4.事故树定性、定量分析第一章集合的关系及运算本章有4节内容化相交集合为不交集合在FTA的运用化相交集合为不交集合基本计算概念化相交集合为不交集合在FTA的运用化相交集合为不交集合在FTA的运用化相交集合为不交集合在FTA的运用化相交集合为不交集合在FTA的运用第一章集合的关系和运算第一节集合的基本概念1.1基本概念具有某种共同属性的事物的全体叫做集合，集合中的事物叫做元素。包含一切元素的集合称为全集，用符号Ω表示；不包含任何元素的集合称为空集，用符号Φ表示。第一章集合的关系和运算1.2集合的表示集合以大写字母表示，集合的定义写在括号中；如：A={2}单元素集合B={2,4,6}三元素集合C={1,2,3}三元素集合D={1,2,3,4,5,6}泛集（亦称全集）用Ω或1E={零、无效或空集}空集，用Φ或0表示第一章集合的关系和运算1.3集合的包含关系集合之间的包含关系（即从属关系）用符号∈表示，如A、B、C包括在D内，我们把A、B、C称作D的子集，表示为：A、B、C∈D子集B1包含于全集Ω，记为B1∈Ω第一章集合的关系和运算1.4集合的描述法表示把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。一般在大括号的左边写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线的右边写上这个集合的元素的公共属性，如：不等式X2－3X+2＞0的解集可表示为：{X∣X2－3X+2＞0}第一章集合的关系和运算第二节集合的简单运算2.1交集两个子集相交之后，相交的部分为两个子集的共有元素的集合，称为交集，其相交的关系用符号∩表示，如图1：A∩B。根据定义，交是可以交换的，即（A∩B=B∩A）B图1交集第一章集合的关系和运算2.1交集关系演示例1：若A={a,b,c,d}B={c,d,e}，则：A∩B={c,d}例2：设A={1，2，3，4，5}B={2,4,6,8},求A∩B解：A∩B={2，4}第一章集合的关系和运算2.1交集关系演示例3：已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求A∩Z，B∩Z，A∩B。解：A∩Z={奇数}∩{整数}=AB∩Z={偶数}∩{整数}=BA∩B={奇数}∩{偶数}=Φ第一章集合的关系和运算2.2并集集合A、B，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集记作A∪B，如图2：即A∪B={X∣X∈A或X∈B}由并集定义可知：A∪B=AA∪Φ=AA∪B=B∪AAB图2并集第一章集合的关系和运算2.2并集例题：设A={3，5，6，8}，B={4，5，7，8}，求A∪B解：A∪B={3，4，5，6，7，8}第一章集合的关系和运算2.3补集某种情况下，集合是某一给定集合的子集，这个给定集合可以看作一个全集，用符号I表示，I含有我们所要研究的各个集合的全部元素。已知全集I，集合A∈I，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集I中的补集，记作（读A补）即且。由补集定义可知，对于任何集合A，有AIIAA图3补集AAA,,AAIAAAAAXXI}XI第一章集合的关系和运算2.3补集例题：设I={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={3,4,5}，B={4,7,8}，求解：={1,2,6,7,8};={1,2,3,5,6};={1,2,6};={1,2,3,5,6,7,8};={4},,,,ABABABABABABABAB第一章集合的关系和运算第三节化相交集合为不交集合理论运用Er∪EsErEsErEsEr+Er′Es图4相交、不相交集合文氏图第一章集合的关系和运算3.1相交集合与不交集合概念由以上文氏图可以看出：Er∪Es为相交集合，Er+Er′Es为不相交集合，亦即Er∪Es=Er+Er′Es式中：∪—集合并运算+—不交和运算所以有：P(Er∪Es)=P(Er)+P(Er′Es)第一章集合的关系和运算3.1相交集合与不交集合概念并推广到一般式：T==E1′+E1E2+E1′E2′E3+…+E1′E2′E3′…Ek-1Ek当求出一个事故树的最小割集后，可直接运用布尔代数的运算定律或以上式将相交和化为不交和。1kiEr第一章集合的关系和运算3.2不交积之和定理如果事故树结构比较复杂时，以上方法仍然相当繁琐，可采用不交积之和定理进行简化运算；尤其是当事故树最小割集彼此间有重复事件时，将更具优越性。命题1，集合Er和Es如不包含共同元素，则Er可用不交化规则直接展开。命题2，若集合Er和Es包含共同元素，则：Er′Es=Er′sEs式中：Ers表示Er中有的而Es中没有的元素的布尔积。第一章集合的关系和运算3.2不交积之和定理命题3，若集合Er和Et包含共同元素，Es和Et也包含共同元素，而且Ert，Est，则：Er′Es′Et′=Es′tEt事故树案例T●A1A2＋＋●＋●B1B2CX5X1X4X5X2X3X3图5事故树第一章集合的关系和运算3.2不交积之和定理根据以上事故树，用不交积之和定理进行不交化运算，计算顶上事件的发生概率。解：经布尔代数化简，该事故树最小割集为：E1={X1,X4}，E2={X3,X5}，E3={X1,X2,X3}E13=E4，E23=E5第一章集合的关系和运算3.2不交积之和定理根据以上公式和命题1、命题3得：T==E1+E1′E2+E1′E2′E3=E1+E1′E2+E13E23E3=X1X4+(X1X4)′X3X5+X4′X5′X1X2X3=X1X4+(X1X1′X4′)X3X5+X1X2X3X4′X5′=X1X4+X1′X3X5+X1X3X4′X5+X1X2X3X4′X5′31rEr第一章集合的关系和运算3.2不交积之和定理设各本事件的发生概率为q1=0.01,q2=0.02,q3=0.03,q4=0.04,q5=0.05，则顶上事件的发生概率为：P（T）=q1q2+(1－q1)q3q5+q1q3(1-q4)q5+q1q2q3(1-q5)=0.001904872第一章集合的关系和运算第四节化相交集合为不交集合在FTA中的应用化相交集合为不交集合理论是近几年提出的，引进到FTA中可以减少故障树顶上事件发生概率的计算量。根据布尔代数下列定律：A+B=A+A′BA′+B′=A′+AB′A′A=0(A′)′=A(AB)′=A′+B′(A+B)′=A′B′对于独立事件和相容事件，A+B和A′+B′均为相交集合，而A+A′B和A′+AB′则变为不交集合。第一章集合的关系和运算4.1布尔代数证明根据以上定律：A+B+C=A+A′B+C=A+A′B+（A+A′B）′C=A+A′B+A′（A′B）′C=A+A′B+A′[（A′）′+B′]C=A+A′B+A′（A+B′）C=A+A′B+A′B′C同理可证：A+B+…+M+N=A+A′B+…A′B′…M′N第一章集合的关系和运算4.1布尔代数证明对于一个故障树结构函数，可将其化为不交形式例题1：T=（X1+X2）（X1+X3）（X2+X3）=（X1+X1′X2）（X1+X1′X3）（X2+X2′X3）=（X1+X1′X2X3）（X2+X2′X3）=X1X2X1′X2X3+X1′X2X3若X1、X2、X3的发生概率分别为q1、q2、q3，则顶上事件的发生概率即为：g=q1q2+(1－q1)q2q3+q1(1－q2)q3第一章集合的关系和运算例题2：T=X1X2X4+X1X3X4+X2X3X4=X1X2X4+（X1X2X4）′X1X3X4+（X1X2X4）′（X1X3X4）′X2X3X4=X1X2X4+（X1′+X2′+X4′）X1X3X4+（X1′+X2′+X4′）(X1′+X3′+X4′)X2X3X4=X1X2X4+（X1′+X1X2′+X1X2X4′）X1X3X4+（X1′+X1X2′+X1X2X4′）（X1′+X1X3′X4′+X1X3X4′）X2X3X4=X1X2X4+X1X2′X3X4+(X1′+X1X2′X3′+X1X2′X3X4′+X1X2X3′X4′+X1X2X3X4′)X2X3X4=X1X2X4+X1X2′X3X4+X1′X2X3X4第一章集合的关系和运算4.1布尔代数证明若X1、X2、X3、X4的发生概率分别为q1、q2、q3、q4，则顶上事件发生概率即为：g=q1q2q4+(1－q2)q3q4+(1－q1)q2q3q4