2011中考数学复习课件：第8讲 一元二次方程及应用

第8讲一元二次方程及应用考点知识精讲中考典型精析举一反三考点训练考点一一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．考点二一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x2＝a(a≥0)，则x＝±a，则x1＝a，x2＝－a.2．配方法：如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.3．公式法：方程ax2＋bx＋c＝0且b2－4ac≥0，则x＝－b±b2－4ac2a.4．因式分解法：若ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－fe，x2＝－nm.考点三列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．考点四一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则x1,2＝－b±b2－4ac2a；2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b2a；3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根；考点五一元二次方程根与系数之间的关系1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个根分别为x1、x2，则x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.(1)(2010·桂林)一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是()A．x1＝1，x2＝－4B．x1＝－1，x2＝4C．x1＝－1，x2＝－4D．x1＝1，x2＝4(2)(2010·眉山)已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1、x2，则x1＋x2－x1·x2的值为()A．－7B．－3C．7D．3(3)(2010·上海)已知一元二次方程x2＋x－1＝0，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定(4)(2009·深圳)用配方法将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是()A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－9【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．【解答】(1)∵x2＋3x－4＝0，∴(x＋4)(x－1)＝0.∴x＋4＝0或x－1＝0.∴x1＝－4，x2＝1，故选A.(2)根据根与系数的关系可得x1＋x2＝5，x1·x2＝2.∴x1＋x2－x1·x2＝5－2＝3，故选D.(3)∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝1＋4＝50，∴方程有两个不相等的实数根，故选B.(4)a2＋4a－5＝a2＋4a＋4－4－5＝(a＋2)2－9，故选D.解方程．(1)(2010·常州)x2－6x－6＝0；(2)(2009·新疆)解方程(x－3)2＋4x(x－3)＝0.【点拨】本组题考查一元二次方程的解法．【解答】(1)x2－6x－6＝0移项，得x2－6x＝6，配方，得(x－3)2＝15，∴x－3＝±15.∴x1＝3＋15，x2＝3－15.(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0换公因式，得(x－3)(x－3＋4x)＝0，(x－3)(5x－3)＝0.∴x－3＝0或5x－3＝0.∴x1＝3，x2＝35.(2010·成都)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根．【解答】∵方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，∴b2－4ac＝42－4×1×2k≥0.即16－8k≥0，解得k≤2.∴k的非负整数值为k＝2,1,0.(2010·济南)如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长．【点拨】列一元二次方程解决实际问题时，要善于读取题中信息，找出表示题目全部意义的等量关系．【解答】设该矩形草坪BC边的长为x米，根据题意，得x·32－x2＝120.解得x1＝12，x2＝20.∵2016，∴x＝20不合题意，舍去．答：该矩形草坪BC边的长为12米．1．方程(x－1)2＝4的解是x1＝3，x2＝－1.2．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值是k＝－1.3．方程x(x＋1)＝5(x＋1)的解是x1＝5，x2＝－1.4．已知2＋3是方程x2－4x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根为x＝2－3，m的值为1.5．将一元二次方程x2－6x－5＝0化成(x＋a)2＝b的形式，则b＝14.6．已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋r)x＋d2＝0没有实数根，其中k、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1与⊙O2的位置关系为外离．7．用配方法．．．解方程：6x2－x－12＝0.x1＝32，x2＝－438．【前情提示】为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg,2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．【解题方案】设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x.(1)用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为8_000(1＋x)；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为8_000(1＋x)2；(2)根据题意，列出相应方程8_000(1＋x)2＝9_680；(3)解这个方程，得x1＝0.1__x2＝－2.1；(4)检验：x1＝0.1，x2＝－2.1都是原方程的根，但x2＝－2.1不符合题意，所以只能取x＝0.1；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.考点训练8一元二次方程及应用训练时间：60分钟分值：100分一元二次方程及应用训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2010·河南)方程x2－3＝0的根是()A．x＝3B．x1＝3，x2＝－3C．x＝3D．x1＝3，x2＝－3【解析】x2－3＝0，x2＝3，x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.【答案】D2．(2010·玉溪)一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于()A．5B．6C．－5D．－6【解析】x1＋x2＝－ba＝－－51＝5.【答案】A3．(2010·益阳)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等．．．的实数根，则b2－4ac满足的条件是()A．b2－4ac＝0B．b2－4ac0C．b2－4ac0D．b2－4ac≥0【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac0.【答案】B4．(2010·杭州)方程x2＋x－1＝0的一个根是()A．1－5B.1－52C．－1＋5D.－1＋52【解析】x2＋x－1＝0，x＝－1±1＋42＝－1±52，即x1＝－1＋52，x2＝－1－52.【答案】D5．(2010·兰州)上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是()A．168(1＋a%)2＝128B．168(1－a%)2＝128C．168(1－2a%)＝128D．168(1－a2%)＝128【解析】第一次降价a%后，售价为168(1－a%)，第二次降价后为168(1－a%)(1－a%)＝168(1－a%)2，即168(1－a%)2＝128.【答案】B6．(2010·昆明)一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A．－1B．－2C．1D．2【解析】x1·x2＝ca＝－21＝－2.【答案】B7．(2011中考预测题)方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是()A．x＝0B．x＝3C．x＝3或x＝－1D．x＝3或x＝0【解析】提整因式法(x－3)(x＋1－1)＝0，∴(x－3)x＝0，∴x－3＝0或x＝0，即x1＝3，x2＝0.【答案】D8．(2011中考预测题)用配方法解一元二次方程x2－4x＝5的过程中，配方正确的是()A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9【解析】x2－4x＝5，x2－4x＋4＝5＋4，(x－2)2＝9【答案】D9．(2010·荆门)如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等的实根，则实数a的取值范围是()A．a1B．a1且a≠0C．a≤1D．a≤1且a≠0【解析】∵方程有两个不等的实数根，∴b2－4ac0，即22－4a0，∴a1.又∵a≠0，∴a1且a≠0.【答案】B10．(2011中考预测题)在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0【解析】由题意可列方程为(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化简为x2＋65x－350＝0.【答案】B二、填空题(每小题3分，共24分)11．(2010·陕西)方程x2－4x的解是________．【解析】x2－4x＝0，x(x－4)＝0，∴x＝0或x－4＝0即x1＝0，x2＝4.【答案】x1＝0，x2＝412．(2010·株洲)两圆的圆心距d＝5，它们的半径分别是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，这两圆的位置关系是__________．【解析】设半径为R、r，则R＋r＝5.∵d＝5，∴R＋r＝d，故两圆位置关系是外切．【答案】外切13．(2010·台州)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为__________．【解析】两次降价后的价格可表示为120(1－x)2，所以120(1－x)2＝100.【答案】120(1－x)2＝10014．(2010·无锡)方程x2－3x＋1＝0的解是__________．【解析】用公式法求x＝3±9－42＝3±52【答案】x1＝3＋52，x2＝3－5215．(2011中考预测题)阅读材料：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．【解析】∵x1、x2是x2＋6x＋3＝0的两实数根，∴x1＋x2＝－6，x1x2＝3，∴x2x1＋x1x2＝x1＋x22－2x1x2x1x2＝－62－2×33＝10.【答案】1016．(2010·兰州)已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是__________．【解析】∵方程有实数根，∴b2－4ac0，∴12－4(m－1)≥0,4m≤5，m≤54.∵方程是关于x的一元二次方程，∴m－1≠0，∴m≠1，∴m≤54且m≠1.【答案】m≤54且m≠117．(2010·成都)设x1、x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x21＋3x1x2＋x22的值为________．【解析】由题意得x1＋x2＝3，x1x2＝－2，所以x21＋3x1x2＋x22＝x21＋2x1x2＋x22＋x1x2＝(x1＋x2)2＋x1x2＝33＋(－2)＝9－2＝7.【答案】718．(2011中考预测题)已知x＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，则m＝