曲线的参数方程及圆的参数方程

在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。一、曲线的参数方程1、参数方程的概念探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xyoAM(x,y)一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。)2.....(....................)()(tgytfx弹曲线的参数方程。计空气阻力，试写出炮，不角为发射炮弹，炮弹的发射以初速度：练习01vxyo0v)/8.9()(21sincos2200秒米取是重力加速度其中为参数弹道曲线的参数方程为ggtgttvytvx的值。上，求在曲线、已知点的位置关系与曲线、判断点为参数的参数方程、已知曲线例aCaMCMMttytxC),6()2()4,5(),1,0()1()(.12,313212上。不在曲线点这个方程组无解，所以代入方程组，得到把点上。在曲线所以代入方程组，解得的坐标把点解：CMttMCMtM2221112435)4,5(0)1,0()1(99,21236),6()2(23aattatCaM所以，解得上，所以在曲线、因为点2、参数方程和普通方程的互化)(21113为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx2sin1cossin2yx）（)()1,1()1(32,1132,211111包括端点为端点的一条射线这是以普通方程是所以与参数方程等价的又得到代入有）由解：（xxytxxytyxttxyxo(1,-1)这是抛物线的一部分。普通方程为所以与参数方程等价的所以又得到平方后减去把].2,2[,],2,2[),4sin(2cossin,2sin1cossin)2(22xyxxxyxyxxoy22为参数）设（为参数。）设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22,cos31149422)(sin2cos3149,sin2sin2sin4)cos1(4,149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyxtytxttytxyxtxtxtxty213)(21314913),1(9144922222222222和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把（曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么)()(tgytfx这就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。注意：步骤：1、消掉参数2、写出定义域参数方程化为普通方程的步骤)(122为参数表示同一曲线的是下列参数方程与方程练习ttytxAxy)(sinsin2为参数ttytxB)(为参数ttytxC)(tan2cos12cos1为参数ttyttxD)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cossin2DCBAyx，、，、，、的一个点的坐标是表示的曲线上为参数、方程()C轨迹是所表示的一族圆的圆心参数为、由方程)(045243222tttytxyxA、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线()D请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点yxorM(x,y)0M2、圆的参数方程)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三＝，设＝，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取＝考虑到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222202000)()()(sincosryyxxryrxyx对应的普通方程为为参数由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ)(sin3cossin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM思考：这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹是什么？径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx_____________4)0(sin2cos3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）的最大值为则意一点上任为参数是曲线、22)4()5(,)(sincos2),(4yxyxyxPA、36B、6C、26D、25（）A36)4()5(]1,1[)sin(43tan26)sin(1026)sin54cos53(1026sin8cos6)4(sin)3(cos)4()5(222222的最大值为其中解：由参数方程可得yxyx的交点。为参数求它与曲线为参数程为、若已知直线的参数方)(sin2cos2)(115yxttytx)2,0()0,2(4024)(sin2cos202)(112222和得焦点坐标为解方程组的普通方程为为参数曲线的普通方程为为参数解：参数方程yxyxyxyxyxttytx小节：1、参数方程的概念作业：26页1、2、4、54、将参数方程化为普通方程的方法注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。3、圆的参数方程的表达式2、能够解决一些简单的参数方程5、将普通方程化为参数方程的方法