球的体积及表面积公式

,21RRr,)(222nRRr问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积？,)2(223nRRrAOB2C2AO极限的思想分割求近似和化为准确和OR)1(inR半径：层“小圆片”下底面的第in.,1,2i,1)](inR[Rr22iirOA一.球的体积nininRnRrVii,2,1],)1(1[232niinRRri,,2,1,)]1([22nVVVV21半球])1(21[22223nnnnR]6)12()1(1[23nnnnnnR]6)12)(1(11[23nnnR球的体积]6)12)(11(1[3nnRV半球.01,nn时当.343233RVRV从而半球334RVR的球的体积为：定理：半径是球的体积例1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.142]34)25(34[9.733x3.1149.73142)25(33x由计算器算得:24.2x5.42x例题讲解oiΔSo二.球的表面积第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS,,321，，则球的表面积：nSSSSS321则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为iVnVVVVV321iSOO球的表面积第二步：求近似和ih由第一步得：nVVVVV321nnhShShShSV31313131332211iiihSV31OiSiVO球的表面积第三步：化为准确和RSVii31如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥RSRSRSRSVni3131313132RSSSSSRni31)...(3132334RV又球的体积为：RiSiVihiSOiV234,3134RSRSR从而球的表面积Rhi的值就趋向于球的半径OABCO例1:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，r332AB2332AO是正三角形，ABCROO,2例题讲解.34R.96491644S2R,)332()2R(R222OABCO,,222AOOOOAAOORt中解：在π;81256)34π(34πR34V33例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．例题讲解例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt得中略解：ABCDD1C1B1A1O例题讲解2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.83323.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.练习一课堂练习33:22:17.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为，则它的外接球的表面积为_____.15,5,36.若两球表面积之差为48π,它们大圆周长之和为12π,则两球的直径之差为______.练习二课堂练习943312了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：23434R②SR①V课堂小结了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：23434R②SR①V课堂小结退出