简单形式的柯西不等式

简单形式的柯西不等式有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，人们称它们为经典不等式.如均值不等式:1212(,1,2,,)nnniaaaaaaaRinn≥.本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:柯西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.思考：设为任意实数.,,,abcd()()2222abcd联想由222abab≥反映出的两个实数的平方和与乘积的大小关系,类比它的推导过程考虑与下面式子（涉及到四个实数，并且形式上也与平方和有关）有关的有什么不等关系:.,222222222222cbdadbcadcba得展开这个乘积,2222222222bcadbdaccbdadbca由于,222222bcadbdacdcba即.,2222220bdacdcbabcad因此而①.,式的含义习会进一步认识二维形通过后面的学项式式中每个括号内都是两①①.,.,,,4柯西不等式即二维或简单形式的的最简形式它是作用在数学和物理中有重要而且具有简洁、对称的美感形式上规律明显不仅排列个实数的特定数量关系式反映了inequalityCauchy柯西不等式①于是我们有式中的等号成立时当且仅当发现从上面的探究过程可以.,,0bcad.,,,,,,122222等号成立时当且仅当则都是实数若简单形式的柯西不等式定理bcadbdacdcbadcba?的证明吗你能简明地写出定理思考1定理1(简单形式的柯西不等式)若,,,abcd都是实数,则22222()()()abcdacbd≥.当且仅当adbc时,等号成立.证法一：如图：XoYA(a,b)B(c,d)设是平面上任意的两个向量，的夹角为(,),(,)abcd与那么：cos上式两边同时取绝对值，得：|||cos|.又，|cos|1所以：||显然，等号成立的条件是：向量共线。(,)(,)abcd与||即：…Ⅱ将Ⅱ式用坐标表示，可得：2222abcdacbd即：22222abcdacbd证法（三）：（利用比较法）22222abcdacbd2222222222222acadbcbdacabcdbd222222()0.adabcdbcadbc所以：22222abcdacbd显然，上式当且仅当时，“=”号成立。0adbc想一想：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成ab＝cd吗？提示不可以．bd＝0时，柯西不等式成立，但ab＝cd不成立．.柯西不等式的几何意义.0,,,,,,之间的夹角为与有向量中设在平面直角坐标系如图dcbaxOy.|cos|||||||,cos||||,所以我们有义的定内积根据向量数量积ba,dc,xyO,|cos|1因为.||||||所以②②得向量的坐标表示不等式二维用平面,,.||两边平方2222dcbabdac.22222dcbabdac得①.,式西不等式的柯二维形称之为所以应量相对二维向式与①.0.,,.,.,,1|cos|,.,0,kcdkcdbcaddckbakkbcad故即使这时存在非零实数以上不等式取等号共线时和即向量则当且仅当量都不是零向和如果向量式取等号以上不等则中有零向量和如果向量.,,,,||||||,,等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当则个向量是两设式的向量形式等柯西不定理kk2二维形式的柯西不等式是向量形式的柯西不等式的坐标表示?4,,,,,,,,,,,221121221121关系吗个实数蕴涵着何种大小这你能发现的边长关系根据的坐标分别为设点中系标坐角面直在平如图观察yxyxPOPyxyxPPOxy111yxP,222yxP,Oxy111yxP,222yxP,Oxy111yxP,222yxP,Oxy111yxP,222yxP,213.图,,,22122122222121yyxxyxyx容易发现的边长关系及三角形根据两点间距离公式以如图③.,,,,式中的等号成立两旁时在原点并且点在同一直线上与原点当且仅当OPPOPP2121③).(inequalityletriang叫做二维形式的不等式三角不等式简单形式的柯西不等式的一些变式变式1:a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式2：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式3:a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，等号成立)22222222dcbadcba|,|bdacbdac22222||||||||dcba2222dcba.||||||||||||bdacdbca例1:设,,1,abRab求证:114ab≥.证明:由于,abR,根据柯西不等式,得21111()()()4abababab≥又1ab,∴114ab≥例题讲解例2已知3x2＋2y2＝6，求证：2x＋y≤11.[思维启迪]观察结构→凑成柯西不等式的结构→利用公式得出结论证明由于2x＋y＝23(3x)＋12(2y)．由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a21＋a22)(b21＋b22)得(2x＋y)2≤232＋122(3x2＋2y2)≤43＋12×6＝116×6＝11，∴|2x＋y|≤11，∴2x＋y≤11.例题讲解规律方法1.二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系，对谁与谁组合是有顺序的，不是任意的搭配，因此要仔细体会，加强记忆．例如，(a2＋b2)·(d2＋c2)≥(ac＋bd)2是错误的，而应有(a2＋b2)(d2＋c2)≥(ad＋bc)2.2．柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看作成等比，则ad＝bc来联想记忆．例3求函数y＝5x－1＋10－2x的最大值．[思维启迪]变形→构造柯西不等式的形式→巧拆常数→凑出定值解函数的定义域为{x|1≤x≤5}．y＝5x－1＋25－x≤52＋2x－1＋5－x＝27×2＝63，当且仅当55－x＝2x－1，即x＝12727时取等号，故函数的最大值为63.例题讲解规律方法2利用柯西不等式求最值①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．例4已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.[思路分析]设基本向量→凑公式结构→利用公式得结论证明设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m|·|n|＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.例题讲解•定理1:(简单形式的柯西不等式).,)())((,,,,22222等号成立时当且仅当则都是实数若bcadbdacdcbadcba•定理2:(柯西不等式的向量形式).//,,,仅当等号成立当且则是两个向量设小结：定理3:(二维形式的三角不等式).,,,,221221222221212211yyxxyxyxRyxyx那么设