【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.1第二课时课件 新人教B版必修5

第二课时课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．正弦定理：_________________.2．利用正弦定理解三角形的类型：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，及其他的边、角．asinA＝bsinB＝csinC知新益能1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R的变化公式(1)asinA＝bsinB，bsinB＝_____，csinC＝_____；(等式型)(2)asinB＝bsinA，csinB＝______，csinA＝______；(等式型)(3)a∶b∶c＝_________________；(连比型)csinCasinAbsinCasinCsinA∶sinB∶sinC(4)sinA＝___，sinB＝___，sinC＝___(其中R为三角形的外接圆半径)；(分体型)(5)a＝2RsinA，b＝______，c＝2RsinC.(分体型)2．三角形面积公式S△＝12aha＝12absinC＝abc4R＝12(a＋b＋c)r＝2R2sinAsinBsinC＝pp－ap－bp－c，其中r为△ABC内切圆半径，R为外接圆半径，p为半周长．a2Rb2Rc2R2RsinB3．注意应用三角形的有关几何性质(1)△ABC中，_____________(内角和定理)；(2)△ABC中，ab⇔_____(大边对大角)．A＋B＋C＝πAB在△ABC中，已知∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．课堂互动讲练求三角形面积例1考点突破【分析】要求S△ABC，已知AB、AC，只需求∠A，根据已知条件：两边及一边的对角，用正弦定理可以先求出AB的对角∠C，使问题得到解决．【解】由正弦定理，得sinC＝AB·sinBAC＝32.∵0°＜∠C＜150°，∴∠C＝60°或∠C＝120°.当∠C＝60°时，∠A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝23.当∠C＝120°时，∠A＝30°，S△ABC＝12AB·AC·sinA＝3.∴△ABC的面积为23或3.【点评】三角形面积公式较多，解题时要选择尽可能多地利用已知条件的公式．解：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tanB＝3，得B＝60°，∴sinB＝32，cosB＝12.又sinC＝1－cos2C＝223，应用正弦定理，得c＝bsinCsinB＝36×223×32＝8.自我挑战1在△ABC中，已知tanB＝3，cosC＝13，AC＝36，求△ABC的面积．∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×13＋12×223＝36＋23.故S△ABC＝12bcsinA＝62＋83.在△ABC中，若tanA∶tanB＝a2∶b2，试判断△ABC的形状．【分析】可先将tanA，tanB切化弦，然后用正弦定理将a2，b2化成sin2A，sin2B.判定三角形的形状例2【解】由已知得sinAcosA·cosBsinB＝sin2Asin2B.∵sinA≠0，sinB≠0，∴cosBcosA＝sinAsinB，即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝180°－2B，即A＝B或A＋B＝90°.故△ABC是等腰三角形或直角三角形．【点评】先由已知化边为角或化角为边，再找边之间的关系或角之间的关系，从而判定△ABC的形状．解：根据正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC.因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以∠A是直角，∠B＋∠C＝90°，所以2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1所以sinB＝22.又因为0°＜∠B＜90°，所以∠B＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．自我挑战2在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC,且sin2A＝sin2B＋sin2C，判断△ABC的形状．正弦定理在证明中的应用例3如图，已知△ABC，BD为角B的平分线,利用正弦定理证明AB∶BC＝AD∶DC.【分析】角B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，BCsin∠BDC＝DCsin∠DBC，再根据角相等则正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论．【证明】在△ABD中，利用正弦定理，得ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，即ABAD＝sin∠ADBsin∠ABD.在△BCD中，利用正弦定理，得BCsin∠BDC＝DCsin∠DBC，即BCDC＝sin∠BDCsin∠DBC.∵BD是角B的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴sin∠ABD＝sin∠DBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180°，∴sin∠ADB＝sin(180°－∠BDC)＝sin∠BDC.∴ABAD＝sin∠ADBsin∠ABD＝sin∠BDCsin∠DBC＝BCDC.∴ABBC＝ADDC，即AB∶BC＝AD∶DC.【点评】关键是运用正弦定理将ABAD与BCDC联系起来．证明：由正弦定理，有ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC，∴a2－b2c2＝sin2A－sin2Bsin2C.自我挑战3在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.求证：a2－b2c2＝sinA－BsinC.又∵sin(A＋B)＝sinC，且sin(A＋B)sin(A－B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)(sinAcosB－cosAsinB)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，∴a2－b2c2＝sin2A－sin2Bsin2C＝sinA＋BsinA－Bsin2C＝sinA－BsinC.如图所示，在等边三角形中，AB＝a，O为中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，求1OM2＋1ON2的最大值和最小值．用正弦定理处理最值问题例4【分析】引进角α＝∠MOA，则可用α表示OM与ON，进而可建立以α为自变量，1OM2＋1ON2为因变量的函数，根据函数的解析式可求最值．【解】由于O是正△ABC的中心，所以，AO＝33a，∠MAO＝∠NAO＝π6，设∠MOA＝α，则π3≤α≤2π3.在△AOM中，由正弦定理得：OMsin∠MAO＝OAsinπ－α＋π6，∴OM＝36asinα＋π6.在△AON中，同样由正弦定理得：ON＝36asinα－π6，∴1OM2＋1ON2＝12a2sin2α＋π6＋sin2α－π6＝12a2[(32sinα＋12cosα)2＋(32sinα－12cosα)2]＝12a232sin2α＋12cos2α＝12a212＋sin2α.∵π3≤α≤2π3，∴34≤sin2α≤1.当α＝π2时，sin2α＝1，这时1OM2＋1ON2取到最大值18a2；当α＝π3(或2π3)时，sin2α＝34，这时1OM2＋1ON2取到最小值15a2.【点评】自变量α的取值范围(即函数的定义域)的确定，关系到我们能否正确获得所求最值，应引起我们足够的重视．方法感悟正弦定理的四种证明方法教材中对定理的证明是分锐角三角形和钝角三角形两种情形来证明的，若利用向量知识和平面几何知识，又该如何证明呢？1．利用向量知识证明正弦定理当△ABC是锐角三角形时，过A点作单位向量i垂直于AB，如图．∵AC→＝AB→＋BC→，∴i·AC→＝i·(AB→＋BC→)＝i·AB→＋i·BC→＝i·BC→，∴bcos(90°－A)＝acos(90°－B)，得bsinA＝asinB，得asinA＝bsinB.同理可得：asinA＝csinC即：asinA＝bsinB＝csinC.当△ABC为钝角三角形时，类似地得出上述结论．2．利用坐标证明正弦定理如图，以△ABC的顶点C为原点，边CA所在直线为x轴，建立直角坐标系．作BD垂直于x轴，垂足为D.在Rt△ABD中，BD＝ABsinA＝csinA.又由三角函数定义，得点B的纵坐标为BD＝BCsin(π－C)＝BCsinC＝asinC，∴asinC＝csinA，即asinA＝csinC.同理，以顶点A为原点、边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，可得bsinB＝asinA，∴asinA＝bsinB＝csinC.3．用面积法证明正弦定理如图，ha、hb、hc分别为△ABC的边BC、CA、AB上的高，由S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc，得aha＝bhb＝chc，∵ha＝csinB，hb＝asinC，hc＝bsinA，∴1sinA＝bhc，1sinB＝cha，1sinC＝ahb，即asinA＝abhc＝abcchc，bsinB＝bcha＝abcaha，csinC＝achb＝abcbhb，∴asinA＝bsinB＝csinC.4．用解直角三角形法证明正弦定理作△ABC的外接圆，设其半径为R.若C是锐角，作外接圆直径BD，连结AD(如图甲)，则∠D＝∠C.在Rt△ABD中，有AB＝BDsinD，∴c＝2RsinC.若C是钝角，作外接圆直径BD，连结AD(如图乙)，则∠D＋∠C＝180°，即∠D＝180°－∠C.在Rt△ABD中，有AB＝BDsinD＝BDsinC,∴c＝2RsinC.若C是直角，由Rt△ABC(如图丙)，得c＝2R＝2Rsin90°＝2RsinC.因此，不论C是锐角、钝角还是直角，都有c＝2RsinC.同样可以证明：a＝2RsinA，b＝2RsinB.由此可得asinA＝2R，bsinB＝2R，csinC＝2R，∴asinA＝bsinB＝csinC＝2R.