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第二课时课堂互动讲练知能优化训练第二课时课前自主学案课前自主学案温故夯基1．余弦定理：__________________，___________________，__________________.2．利用余弦定理可解决两类问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC知新益能1．判断三角形的形状(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)；(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系；要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．(3)常见结论：设a、b、c是△ABC的角A、B、C的对边：①若__________，则C＝90°；②若__________，则C90°；③若__________，则C90°；④若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝π2.a2＋b2＝c2a2＋b2c2a2＋b2c2思考感悟在△ABC中，a2＋b2＞c2，那么△ABC是锐角三角形吗？提示：不一定，因为由a2＋b2＞c2只能说明C为锐角，不能说明A、B也为锐角．2．余弦定理与三角函数的综合问题课堂互动讲练三角形中边角恒等式的证明在△ABC中，求证：a－c·cosBb－c·cosA＝sinBsinA.例1考点突破【分析】要证的等式中，既含有边又含有两角的正弦余弦，因此，可考虑应用正弦定理和余弦定理将它转化成只含有边的等式．【证明】左边＝a－ca2＋c2－b22acb－cb2＋c2－a22bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba，右边＝sinBsinA＝ba，∴左边＝右边，∴a－c·cosBb－c·cosA＝sinBsinA.自我挑战1在△ABC中，D为BC的中点，求证：2(AD2＋BD2)＝AB2＋AC2.证明：如图，延长AD至E，使AD＝DE，连结BE，CE，则四边形ABEC是平行四边形．由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，①AE2＝BA2＋BE2－2BA·BE·cos∠ABE，②①＋②得：BC2＋AE2＝2AB2＋AC2＋BE2－2AB·AC·cos∠BAC－2BA·BE·cos∠ABE.又因为∠ABE＋∠BAC＝π，BC＝2BD，AE＝2AD.AC＝BE，所以4(BD2＋AD2)＝2AB2＋2AC2－2AB·AC·cos∠BAC＋2BA·AC·cos∠BAC，即2(BD2＋AD2)＝AB2＋AC2.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．【分析】判断三角形的形状通常从三角形内角的关系来确定，也可以从三边关系来确定．三角形形状的判定例2【解】法一：将已知等式变形为：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab)2－c2·(a2＋c2－b22ac)2＝2bc·a2＋c2－b22ac·a2＋b2－c22ab，∴b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2＝4a44a2＝a2，∴∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．法二：由asinA＝bsinB＝csinC＝2R，则已知条件化为：4R2sin2Bsin2C＋4R2sin2Csin2B＝8R2sinBsinCcosBcosC.又sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0.又0°＜∠B＋∠C＜180°，∴∠B＋∠C＝90°，∴A＝90°，故△ABC是直角三角形．【点评】利用正弦定理、余弦定理可以实现边角关系的互化．解：法一：(角化边)由余弦定理，得a－b＝c(a2＋c2－b22ac－b2＋c2－a22bc)＝a2＋c2－b22a－b2＋c2－a22b，所以2ab(a－b)＝b(c2＋a2－b2)－a[c2－(a2－b2)]＝bc2＋b(a2－b2)－ac2＋a(a2－b2)＝(b－a)c2＋(b＋a)(a2－b2)＝－(a－b)c2＋(b＋a)2(a－b)＝(a－b)[(b＋a)2－c2]，自我挑战2△ABC中，已知a－b＝c·(cosB－cosA)，试判断△ABC的形状．所以0＝(a－b)[(b＋a)2－c2－2ab]＝(a－b)(a2＋b2－c2)，所以a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．法二：(边化角)由正弦定理，得sinA－sinB＝sinC(cosB－cosA)＝sin(A＋B)(cosB－cosA)＝(sinAcosB＋cosAsinB)·(cosB－cosA)＝sinAcos2B－sinAcosAcosB＋cosAsinBcosB－sinBcos2A，所以sinA(1－cos2B)＝－sinAcosAcosB＋cosAsinBcosB＋sinB(1－cos2A)，即sinAsin2B＝－sinAcosAcosB＋cosAsinBcosB＋sinBsin2A，即sinAsin2B－cosAsinBcosB＝－sinAcosAcosB＋sinBsin2A，所以sinB(sinAsinB－cosAcosB)＝sinA(sinAsinB－cosAcosB)，所以(sinAsinB－cosAcosB)(sinB－sinA)＝0，即－cos(A＋B)＝0或sinB＝sinA.因为∠A，∠B为三角形的内角，所以∠A＋∠B＝π2或∠B＝∠A，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2C＋2cos(A＋B)＋32＝0.(1)求角C的大小；(2)若c＝7，a＝2，求b的值．余弦定理与三角函数综合的问题例3【分析】利用二倍角公式及诱导公式求出C角，结合余弦定理可求出b值．【解】(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，由已知，得(2cos2C－1)＋2cos(π－C)＋32＝0，整理，得4cos2C－4cosC＋1＝0.解得cosC＝12，又因0°C180°，∴C＝60°.(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即(7)2＝22＋b2－2·2bcos60°化简，得b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1(舍去)．∴b＝3.【点评】熟练应用三角公式化简求角，再结合面积公式及正余弦定理是解决此类综合题的关键，但要注意解关于边或角的方程时根的检验．自我挑战3已知A、B、C为△ABC的三个内角，它们的对边分别为a、b、c，且cosBcosC－sinBsinC＝12.(1)求A；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝12，∴cos(B＋C)＝12.又∵0B＋Cπ，∴B＋C＝π3.∵A＋B＋C＝π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得(23)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos2π3，即12＝16－2bc－2bc·(－12)，∴bc＝4.∴S△ABC＝12bc·sinA＝12·4·32＝3.方法感悟1．正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．2．正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决．3．判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，要注重边角转化桥梁——正、余弦定理．