【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.2空间两点的距离公式课件 新人教B版必修2

2.4.2空间两点的距离公式了解空间两点间的距离的定义，掌握其公式，并能用来解决一些空间的计算问题.学习目标课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案2.4.2课前自主学案温故夯基1．数轴上两点P1(x1)，P2(x2)间距离d(P1，P2)＝________，特别地，点A(x)到原点距离为d(O，A)＝_______.|x1－x2||x|2．平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间距离d(P1，P2)＝___________________，特别地，点A(x，y)到原点距离为d(O，A)＝________.x2－x12＋y2－y12x2＋y2知新益能空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝____________________________.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为d(O，A)＝__________________.x2－x12＋y2－y12＋z2－z12x2＋y2＋z2思考感悟在空间直角坐标系中，到两定点距离相等的点的轨迹是直线吗？提示：不是．是两点间连线的中垂面．课堂互动讲练求两点间的距离考点突破找清两点的坐标，代入公式．例1在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4,4,2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，求|EF|的长．【分析】根据长方体的结构特征及C′点坐标，可确定长方体中各顶点坐标，进而求得中点E，F的坐标，根据距离公式求|EF|.【解】由C′(4,4,2)知：B(4,0,0)，C(4,4,0)，A′(0,0,2)，B′(4,0,2)，由中点坐标公式得，E(4,2,0)，F(2,0,2)．∴|EF|＝4－22＋2－02＋0－22＝23.【点评】确定线段的中点坐标，可通过线段两端点坐标来求．跟踪训练1在空间直角坐标系中，点A(2,3,0)关于平面xOy的对称点为A′，点B(5,1,0)关于平面yOz的对称点为B′，求A′、B′两点间的距离．解：∵点A(2,3,0)关于平面xOy的对称点为A′，∴A′(2,3,0)．∵点B(5,1,0)关于平面yOz的对称点为B′，∴B′(－5,1,0)．∴|A′B′|＝[2－－5]2＋3－12＋0－02＝72＋22＝53，∴A′、B′两点间的距离为53.利用距离公式求点的坐标根据距离公式建立等式关系．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．【分析】xOy平面内点的z坐标为0，所以设M(x,1－x,0)，再利用距离公式，转化为二次函数求解．例2【解】由已知可设M(x,1－x,0)，则|MN|＝x－62＋1－x－52＋0－12＝2x－12＋51.所以当x＝1时，|MN|min＝51.所以xOy平面内的直线x＋y＝1上到点N的距离最小的点为M(1,0,0)．【点评】本题利用空间两点的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可．跟踪训练2已知空间中两点A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)，在z轴上有一点C，它到A、B两点的距离相等，求点C的坐标．解：设C点的坐标为(0,0，z)，则32＋12＋z－12＝22＋－22＋z－32，即10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2，解得z＝32，所以点C的坐标为(0,0，32)．空间中的轨迹问题在空间直角坐标系中建立含有动点坐标(x，y，z)的等式方程．(1)在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？写出其方程．(2)求到两定点A(2,3,0)，B(5,1,0)距离相等的点的坐标(x，y，z)满足的条件，并说明这样的点的集合构成什么图形．(3)在坐标平面xOy内的点P到定点A(3,2,5)，B(3,5,1)的距离相等，求点P的坐标满足的条件，能说明其轨迹是什么图形吗？例3【分析】在空间直角坐标系中，确定动点的轨迹方程与平面直角坐标系中的有些类似，即用动点坐标及已知点的坐标表示几何等式，化简可得方程．确定图形，可先求轨迹方程，再确定轨迹．【解】(1)到坐标原点的距离为1的点P(x，y，z)的轨迹是一个球面，满足|OP|＝1，即x2＋y2＋z2＝1，所以其轨迹方程是x2＋y2＋z2＝1.(2)由题意，得x－22＋y－32＋z2＝x－52＋y－12＋z2，整理得6x－4y－13＝0，所以这样的点(x，y，z)满足的条件是6x－4y－13＝0.这样的点的集合是过线段AB的中点且与直线AB垂直的平面．(3)因为点P在xOy平面内，所以设点P(x，y,0)，由题意，得x－32＋y－22＋52＝x－32＋y－52＋12，化简，得y＝－12.因为点P既在xOy平面内又在过线段AB的中点且与直线AB垂直的平面内，所以点P的轨迹是两个平面的交线，即xOy面内的直线y＝－12.【点评】空间直角坐标系由于比平面直角坐标系多了一个维度，故由轨迹方程确定轨迹时有所不同．在平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹是这两定点连线段的垂直平分线，在空间中，到两个定点的距离相等的点的轨迹是两定点之间线段的垂直平分面．跟踪训练3若点P(x，y，z)到A(1,0,1)，B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是________________．答案：2x＋2y－2z－3＝0方法感悟空间两点间的距离公式与平面解析几何中求平面上两点间的距离类似，只是多了一个z坐标的差的平方．