节水洗衣机-数学建模

节水洗衣机节水洗衣机摘要目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水--漂水--脱水--加水--漂水--脱水…加水--漂水--脱水。本文中通过建立数学规划模型，计算在某种情况下洗衣机的最少用水量，并为洗衣机设计一种运行程序，其中包括运行多少轮和加水量等，使得在满足一定洗涤效果的条件下，洗衣机洗衣总用水量最少。然后经过系列的变量替换等操作优化数学模型，让过程更加简方便计算和操作。最后选用合理的数据进行计算，并对照目前常用的洗衣机的运行情况，对此模型和结果作出评价。关键词：洗衣机用水；数学规划；优化模型节水洗衣机目录1问题分析………………………..………………………………….……………….11.1背景意义和构想………………………………………………………………………11.2洗衣机的基本原理和过程…………………………………………………………11.3“节水洗衣机”要点分析……………………………………………………………12问题建模…………………………………………………………………………...22.1基本假设………………..…………………………………………………………..22.2变量定义…………………………………………………….………………………..22.3模型建立………………………………………………………………….…...32.4优化模型………………………………………………………………………....…33分析与求解……………………………………………….………………..………....43.1最少洗衣轮数…………………………………………………………………….…...43.1算法……………………………………………………………………………….…...53.1实例验证………………………………………………………………………….…...5参考文献…………………………………………………………………….……..6节水洗衣机第1页，共6页1问题分析1.1背景意义与构想我国淡水资源有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额；目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水--漂水--脱水--加水--漂水--脱水…加水--漂水--脱水（称“加水--漂水--脱水”为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。在实际生活中，衣服的洗涤是一个十分复杂的物理化学过程。洗衣机的运行过程可以理解为洗涤剂溶解在水中，通过水进入衣物并与衣物中的污物结合，再经过一定时间的漂洗后，它在水中与衣物中的分配达到条件。经过脱水去除了溶于水中的洗涤剂和洗涤剂与污物的结合物，之后再注入清水进入下一轮的洗涤过程，如此反复，最终使衣物中的有害物质逐渐减少到满意程度为止。不论人工洗衣还是洗衣机洗衣，都存在节水问题，显然，若用水量为零，则衣服肯定洗不净；若用水量为无穷大，则肯定浪费水，因此必然存在刚好“洗净”衣物的“最少”用水量。机器能够比人更精确地控制洗衣过程，所以提出“节水洗衣机”问题。1.2洗衣机的基本原理和过程洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中，通过脱去污水而带走污物。“溶污物--脱污水”是由两个根本要素构成的一个“元动作”，无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的。洗衣的过程就是通过加水来实现上述“溶污物--脱污水”动作的反复执行，使得残留在衣物上的污物越来越少，直到满意的程度。通常洗衣要加入洗涤剂，它帮助溶解污物。但是洗涤剂本身也是不能留在衣物上的东西。因此“污物”应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和。有了这种认识后，我们就可以统一地处理“洗涤”（即通常加洗涤剂的首轮洗衣）和“漂洗”（即通常的以后各轮洗衣，不再加洗涤剂，但水中还有剩余洗涤剂），把二者都看作“溶污物”环节。“脱污水”在洗衣机中通常称为“脱水”，常由排水和甩干两个步骤组成。1.3“节水洗衣机”要点分析立足于“溶污物--脱污水”这种基本原理，我们可以找出“节水洗衣机”问题的基本要点如下：1）污物的溶解情况如何？这里将用“溶解特性”来描述；节水洗衣机第2页，共6页2）每轮脱去污水后污物减少情况如何？这将由系统的动态方程表示；3）如何设计由一系列“溶污物--脱污水”构成的节水洗衣程序？这将通过用水程序来反映，也是我们最终需要的结果。2问题建模2.1基本假设1）仅考虑离散的洗衣方案，即“加水--溶污物--脱污水”（以下称为“加水--洗涤--脱水”）三个环节是分离的，这三个环节构成一个洗衣周期，称为“一轮”；2）每轮用水量不能低于L，否则洗衣机无法转动；用水量不能高于H，否则会溢出，设LH；3）每轮的洗涤时间是足够的，以便衣物上的污物充分溶入水中，从而使每轮所用的水被充分利用；4）每轮的脱水时间是足够的，以使污水脱出，即让衣物所含的污水量达到一个低限，设这个低限是一个大于0的常数C，设CL。5）除首轮外，每轮的“用水量”包括该轮加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量，即残留水被自然地利用了。6）假设放入洗衣机的衣物重量看做是等重量的，即减少的衣物重量差异对用水量的影响。2.2变量定义1）设共进行n轮“加水--洗涤--脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，……，第n-1轮；2）第k轮用水量为ku（k=0，1，2，……，n-1）；3）衣物上的初始污物量为0x，在第k轮脱水后仍吸附在衣物上的污物量为1kx（k=0，1，2，……，n-1）。具体详细见下表：表示符号具体意义ku第k轮用水量kx第k轮脱水后仍在衣物上的污物量L洗衣机每轮用水量下限H洗衣机每轮用水量上限C每次脱水完毕后衣物上残留的污水量节水洗衣机第3页，共6页Q衣物上污物浸泡在水中的溶解率n洗衣轮数2.3模型建立第k轮洗涤之后和脱水之前，第k-1轮脱水之后的污物量kx已成为两部分：kkkqpx，k=0，1，2，……，n-1其中kp表示已溶入水中的污物，kq表示尚未溶入水中的污物量。kp与第k轮的加水量ku有关，总的规律是ku越大kp越大，且当ku=L时kp最小（=0，因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动，该轮洗衣无效）；当ku=H时，kp最大（=Qkx，0Q1，其中Q称为“溶解率”）。因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有：LHLuQxpkkk在第k轮脱水之后，衣物上尚有污物kkkpxq，有污水C，其中污水C中所含污物量为（kp/ku）C。于是第k轮完成之后衣物上尚存的污物总量为：kkkkkupCpxx)(1将前面的kp式子代入上式并整理后得系统动态方程：1,......,2,1,0,111nkLHLuuCQxxkkkk2.4优化模型由于nx是洗衣全过程结束后衣服上最终残留的污物量，而0x是初始污物量故nx/0x反映了洗净效果由系统动态方程得：节水洗衣机第4页，共6页10011nkkknLHLuuCQxx又总用水量为：10nkku于是可得优化模型如下10minnkku10,11..10nkkkLHLuuCQts)1,...,2,1,0(nkHuLk其中代表对洗净效果的要求。若令：,LHLuvkk则：LvLHukk)(于是优化模型化为更简洁的形式10minnkkv10,10,1..nkKkkBAvQvQvts1,...,2,1,0,10nkvk其中：CLBLHBCLHA,13分析与求解3.1最少洗衣轮数定义函数节水洗衣机第5页，共6页10,1)(tBAtQtQttr易知10,01)()('2tBAtBQtr可见r（t）是区间[0，1]上的单调减函数，所以：)1,0(1)1(minHQCQrr第k轮的洗净效果为：1,...,2,1,0),(1nkvrxxkkk由此不难得出n轮洗完后的洗净效果最多可达到：nHQCQ1给定洗净效果的要求，则应有：nHQCQ1于是有：HQCQn1loglog设0N为满足上式的最小整数，则最少洗衣轮数即为0N。3.2算法可采用非线性规划算法，对NNNNn,......,,,20100（凭常识洗衣的轮数不应太多,比如取N=10已足够）进行枚举求解，然后选出最好的结果。其中0N是满足洗衣次数的最小整数。3.3实例验证对某款洗衣机的参数查询，有C=1，H=5。假设衣物上污物的溶解率Q=0.5，则对于衣物洁净要求=0.05有n2.4882，即0N=3，于是：次数n（轮）总用水量ku（升）节水洗衣机第6页，共6页3754815896101即对于一个特定的衣物洁净度，最佳的洗衣次数为3次。可见对于不同洗衣机的不同的参数值，洗衣机的节水程度均有差异。3.4参考文献[1]刘国钧，王连成．图书馆史研究[M]．北京：高等教育出版社，1979：[2]徐萃薇.计算方法引论[M].北京:高等教育出版社,1985[3]同济大学数学教研室.高等数学(第3版)[M].北京:高等教育出版社,1988[4]苏金明等编.MATLAB工具箱应用[M].北京:电子工业出版社,1988