平稳过程

(第三章)平稳随机过程内容提要平稳过程的概念与性质平稳过程的各态历经性联合平稳过程1平稳过程的概念与性质[定义]设{X(t),tT}是随机过程，若对任意常数和正整数n，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的联合分布函数，则称{X(t),tT}为严平稳过程，也称狭义平稳过程。严平稳过程),,;,,(})(,,)({),,;,,(111111nnnnnnttxxFxtXxtXPttxxFN阶平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程，若对于正整数nN和任意常数，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))与(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的n维联合分布函数，则称{X(t),tT}具有N阶平稳性。（事实上，当n=N时条件满足即可）严平稳过程的一维概率密度函数(1)严平稳过程X(t)的一维概率密度函数与时间无关。)()0;();();(11111xfxftxftxfXXXX均值：XXXmxxfxtXEtm-d)()}({)(方差：22})]()({[)(XXXtmtXEtD均方值：2-222d)()}({)(XXXxxfxtXEt严平稳过程的均值、均方值和方差均为常数。严平稳过程的二维概率密度函数);,(),0;,(),;,(),;,(21122121212121xxfttxxfttxxfttxxfXXXX(2)严平稳过程X(t)的二维概率密度函数只与t1、t2的时间间隔有关。自相关：)(dd);,(dd),;,()}()({),(-212121-212121212121XXXXRxxxxfxxxxttxxfxxtXtXEttR自协方差：严平稳过程的自相关和自协方差只与时间差有关。)()()()(),(),(2212121XXXXXXXKmRtmtmttRttK宽平稳过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程，如果满足(1){X(t),tT}是二阶矩过程；(2)mX(t)=E{X(t)}=常数；（均值平稳）(3)RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=RX(t2t1)=RX()；（自相关平稳）则称{X(t),tT}为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。常用平稳性之间的关系严平稳n阶平稳(n2)二阶平稳一阶平稳均值平稳自相关平稳广义平稳高斯过程例1设有随机相位过程X(t)=asin(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程X(t)的平稳性。[解]因此X(t)是平稳随机过程。0)sin(2)()sin()]sin([)]([2020dtadftataEtXEcos2])(sin[)sin(2)]()([),(2202adttatXtXEttRX例2（白噪声序列）设{Xn,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，试讨论随机序列的平稳性。[解]因为:(1)E[Xn]=00,00,][),()2(2nnXXXEnnR故随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随机序列。平稳过程相关函数的性质[定理]设{X(t),tT}是平稳过程，则其相关函数RX()具有下列性质：(1);0)0(XR;)()(XXRR(3)共轭对称性:;)0()(XXRR(2)(4)RX()是非负定的，即;0),(1,jnjijiXiattRa实平稳过程的相关函数是偶函数)()(XXRR周期过程设{X(t)}是平稳过程，若其相关函数RX()满足RX()=RX(+T)则称{X(t)}是周期过程。例1中的随机正弦过程X(t)=asin(t+)是一个周期过程，cos2)(2aRX周期为：T=2/平稳高斯过程[定义]设{X(t),tT}是随机过程，若对任意正整数n和t1,t2,…,tnT，n维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))是联合高斯分布的，则称{X(t),tT}为高斯随机过程或正态过程。其中，X=(X1,X2,…,Xn)，m=(m1,…,mn)是常向量（均值向量），K=(Kij)n×n是正定矩阵（协方差矩阵）。Tnnxxxff)()(21exp)2(1),,,()(121221mxKmxKxn维高斯分布：平稳高斯过程均值和自相关函数是平稳的，jiijijXjiXXttRttRtm,)(),(,)(任意n维联合概率密度函数为111212211121111nnnnnnnnrrrrrrrrrrR平稳高斯过程{X(t),tT}满足其中，R是由相关系数rij构成的行列式，Rij是行列式中元素rij构成的代数余子式。njijiijnxxRRRf,221))((21exp21),(tx2)(ijXijKr平稳高斯过程的一维、二维概率密度函数212,)(ttKrX其中：222)(exp21)(xxf一维概率密度函数)1(2)())((2)(exp121),,(222221212221rxxxrxrxxf二维概率密度函数)()(2)()(exp21),,(,02122221221xfxfxxxxfr时当高斯过程的性质高斯过程完全由它的均值和相关函数（协方差函数）决定；高斯过程的不相关与独立等价；高斯过程的宽平稳与严平稳等价；高斯过程与确定信号之和仍为高斯过程；若高斯过程｛X(t),tT｝在T上均方可微，则其导数过程｛X(t),tT｝也是高斯过程；若高斯过程｛X(t),tT｝在T上均方可积，则其积分过程｛Y(t),tT｝也是高斯过程。),(d)()(TtaXtYta2平稳过程的各态历经性对于随机过程X(t,e)，对于每一个固定的tT，X(t,e)是一个随机变量，E[X(t)]=mX(t)为统计平均。对于每一个固定的e，X(t,e)是普通的时间函数，在T上对t取平均，即得时间平均。时间均值和时间相关函数[定义]设{X(t),t}为均方连续的平稳过程，则分别称为该过程的时间均值和时间相关函数。TTTTTTttXtXTtXtXttXTtXd)()(21lim)()(d)(21lim)(各态历经性[定义]如果平稳过程{X(t),tT}的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。[定义]设{X(t),t}为均方连续的平稳过程，若以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。XTTTmttXTtXEtXd)(21lim,)]([)(1.Pr即若以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。)(d)()(21lim,])()([)()(1.PrXTTTRttXtXTtXtXEtXtX即KX()均值遍历的充要条件[定理]设{X(t),t}是均方连续的平稳过程，则它的均值具有遍历性的充要条件为当X(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为0d])([2121lim222TTXXTmRTT0d])([211lim202TXXTmRTT相关函数遍历的充要条件[定理]设{X(t),t}是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有遍历性的充要条件为当X(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为0d])()([2121lim221211TTXTRCTT0d)]()([211lim201211TXTRCTT])()()()([)(111tXtXtXtXEC其中例3设有随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试问X(t)是否为各态历经过程。021)cos()]([20dtatXE0)cos(21lim)(TTTdttaTtX)()()cos(2)(2tXtXaRX故X(t)是为各态历经过程。遍历性的重要意义如果一个实平稳过程X(t)是各态历经的，则可用其任一样本函数x(t)的时间平均代替其统计平均，即若样本函数x(t)只在有限区间[0,T]上给出，则有TTXTTXttxtxTRttxTm00d)()(1lim)(d)(1limTXXTXXttxtxTRRttxTmm00d)()(1)(ˆ)(d)(1ˆ相关函数的测量TXXttxtxTRR0d)()(1)(ˆ)(乘法器可变延时积分器(低通滤波)X(t)X(t+)RX()3联合平稳过程X(t)和Y(t)是两个平稳过程X(t)Y(t)W(t)=X(t)+Y(t)是否平稳？),(),()()(])()()()()()()()([])()()][()([])()([),(ttRttRRRtXtYtYtXtYtYtXtXEtYtXtYtXEtWtWEttRYXXYYXW)()()]()([)(tmtmtYtXEtmYXW联合平稳过程的定义)(])()([),()(])()([),(YXYXXYXYRtXtYEttRRtYtXEttR)()()()()(YXXYYXWRRRRR])()([tYtXE])()([tXtYE[定义]设{X(t),tT}和{Y(t),tT}是两个平稳过程，若它们的互相关函数及仅与有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。它们的和W(t)=X(t)+Y(t)也是平稳过程。YXWmmtYtXEtm)]()([)(互相关函数的性质联合平稳过程X(t)和Y(t)的互相关函数具有性质：(2)(0))0()(2YXXYRRR)()(YXXYRR(1)对于实平稳过程，)()(YXXYRR(3)(0))0(21)(YXXYRRR[例4]设有两个随机过程X(t)=acos(t+)和Y(t)=bsin(t+)，其中a,b,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，分析X(t)和Y(t)是否联合平稳。[解])(cos),(22XaXRttR故X(t)和Y(t)均是平稳过程。0)]([)]([tYEtXE)(sin2]})(sin[)cos({])()([),(XYXYRabtbtaEtYtXEttR)(cos),(22YbYRttR所以X(t)和Y(t)是联合平稳的。