随即信号处理

中国民航大学电子信息工程学院杨金锋随机信号分析tt确定信号－－随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的还是这种波形。随机信号－－随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。－序－()Xt随机过程理论研究的对象－－随机过程微积分、线性代数、复变函数分析确定信号所用的数学工具有：傅氏变换、拉氏变换、等等概率论上述的所有分析随机信号所用的数学工具有：随机过程理论数学工具X概率论研究的对象－－随机变量主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论高等数学与概率论例1计算其中积分区域D如图。22xyDedxdya2222222002001.21axyrrDDaraedxdyerdrderdrdede主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论高等数学与概率论例2计算其中积分区域S如图。22xyDedxdyD1D2S2222221222222222122222222200022200141411444xyxyxyDSDRRRxyxyxSxyRDxyRDRRxRxedxdyedxdyedxdyedxdyedxedyedxedxdyeedxdyeeedxeRedx令，上式两端趋于同一极限，从而2＝2RR22211(),()xxxedxedxfxefxdx＝＝1令=可得＝1第一讲概率空间－－随机现象的数学空间主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论某个随机现象•连续抛一枚硬币三次正，正，正正，正，反正，反，正正，反，反反，正，正反，正，反反，反，正反，反，反主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论随机问题的建模随机现象随机试验概率空间样本空间Ω事件域F概率P主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论随机试验随机试验是具有以下三个特征的试验：1、试验在相同的条件下可以重复；2、每次试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验将会出现的所有可能；3、每次试验前不能确定哪个结果会出现。随机试验简称试验，通常用E表示样本点：随机试验可能出现的结果，一般用ξ表示。样本空间：随机试验E中所有可能出现的结果，即全体样本点的集合，一般用Ω表示。主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论随机试验：抛一颗骰子，观察出现的点数样本空间：全体样本点的集合＝{1,2,3,4,5,6}样本点：随机试验每个可能出现的结果：1、2、3、4、5、6随机事件：随机实验中可能出现的结果投掷结果为3的事件A={3}投掷结果为奇数的事件B={1,3,5}投掷结果为大数的事件C={4,5,6}必然事件D={1,2,3,4,5,6}不可能事件E={Φ}主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论事件举例•连续抛一枚硬币三次，其可能出现的结果为：A0={正，正，正}A1={正，正，反}A2={正，反，正}A3={正，反，反}A4={反，正，正}A5={反，正，反}A6={反，反，正}A7={反，反，反}以上八种结果成为基本事件，它们都有一个元素Ai构成。•B1＝{A0，A1，A2，A3}第一次抛的结果为正的事件•B2＝{A0，A7}三次结果相同的事件•B3＝{A0，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7}＝Ω必然事件主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论一、事件的运算（事件的关系）AΩ事件A发生必然导致事件B发生的事件－－称事件B包含事件A。记：BAB主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论ΩA与B中，只要有一个发生且发生的事件－－称A与B的“和事件”。记：A∪BA与B同时发生才发生的事件－－称A与B的“积事件”记：A∩BΩΩBAABA∩B主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论ΩΩA与B不可能同时发生的事件－－称A与B“互不相容”。记：A∩B＝（空集）A发生，而B不发生的事件－－称A与B的“差事件”。记：A－BBABA主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论A不发生的事件－－称事件A的“逆”。记：Ā＝－AA∪Ā＝Ā∩A＝ΩAA主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论二、概率的定义若某一个随机试验E(1).它的全部可能结果——样本空间Ω中所有样本点数只有有限个。(2).每个结果的发生——是等可能的。那么，E中任意事件A发生的概率P(A)为：的个数样本空间中所有样本点包含的样本点的个数事件AAP)(1、概率的古典定义主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论2、概率的几何定义将某一个随机试验E(含有无穷多个样本点)的样本空间，用m维空间中某一个有界区域Ω表示，而对这一区域Ω的大小的“度量”用L(Ω)表示，(它可以是一维空间Ω的长度，二维空间Ω的面积，三维空间Ω的体积)。A若随机试验E等效为均匀地向区域Ω投掷一随机点。事件A∈Ω(Ω的子集）等效为Ω中任一可能出现的小区域，L(A)是A的度量。由于是均匀投掷的随机点，所有样本点的发生是等可能的。因此随机点落入区域A的概率则为“度量”之比：()()()LAPAL区间A的度量区间Ω的度量主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论3、概率的统计定义随机事件A在某组的n次试验中出现nA次，比值称作事件A在这组的n次试验中出现的频率。定义：在试验E的n次重复试验中，事件A发生的概率：()lim()limAnnnnPAfAn()AnnfAn频率具有随机性，当n有限时，这组的n次试验中的频率fn(A)与下一组的n次试验中的频率fn(A)可能不同。但概率P(A)却是固定不变的。频率fn(A)只有在n→∞时，才趋于概率。在概率论的发展史上，人们曾针对不同问题，从不同角度给出了概率的三种定义和计算方法。这三种定义和计算方法都具有各自的适用范围，存在一定的局限性，但在三种定义下概率的性质却是完全相同的。因此，人们从概率的性质出发，给概率赋予一个新的数学定义，即概率的公理化定义。这个定义只指明概率应具有的基本性质，不具体规定概率的计算方法。主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论若定义在事件域F上的一个集合函数P满足下列三个条件：⑴非负性：⑵规范性：⑶完全可加性：若且两两互不相关时，有4、概率的公理化定义事件域F是由样本空间中的某些子集构成的非空集类。集类是指以集为元素的集合。(1,2,)iAFi()0PAAF，11()()iiiPAPA()1P(,,)FP则称P为概率。样本空间事件域F和概率P构成的总体称为随机试验E的概率空间。主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论5、概率的性质给定概率空间，从概率的公理化定义的三个条件，可以推出概率的性质：⑴不可能事件的概率为0，P()=0⑵必然事件的概率为1，P()=1⑶逆事件的概率为，⑷有限可加性：若，且两两互不相容，则()1()PAPA⑸单调性：若，则()()()PABPAPB11()()nniiiiPAPA()()()()()PABPAPBPBPA且(1,2,)iAFi()()()()PABPAPBPABBA(,,)FP⑹加法公式：次可加性：主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论条件概率定义乘法公式全概率公式贝叶斯公式主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论概念1——条件概率定义：P(A/B)表示在B事件已发生的条件下，A事件发生的概率。P(A/B)＝L(AB)/L(B)=P(AB)/P(B)可看成在缩小“样本空间”ΩB上,求A发生的概率。AB=ΩBABΩ主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论P(A/B)---在B事件已发生的条件下，A事件发生的概率。可以看成是在缩小的“样本空间B”上,求A发生的概率。即：BA一、条件概率的定义同理可得：()()()()()()()()()LABLABPABLAPBLBLBPBL()()()PABBPAPA若A于B互不相容P(AB)=0，则P(A/B)=0，P(B/A)=0。且有：110()1()1()()iiiiPABPBPABPAB，，ABB主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论条件概率——乘法公式定义：1212131211211()()()()()()nnnnnPAAAPAPAAPAAAPAAAPAAA例1.3一批零件共100个，次品率为10％。每次从其中任取一个，取出后不再放回，求第三次才取得合格品的概率？121312123121312()10100()999()9098()()()()1010099990980.0084PAPAAPAAAPAAAPAPAAPAAA，，解：设第一次取出零件是次品为事件A1，第二次取出零件是次品为事件A2，第三次取出零件是合格品为事件A3。主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论条件概率——全概率公式完备事件集：1()()()niiiPAPABPB1nijiiBBijB，；AB1B2BiBn全概率公式：例：乒乓球盒中有15只球，其中9只为没有用过的新球。第一次比赛任取3只，用毕放回。第二次比赛又任取3只，问此时3球都是新球的概率？（0.089）主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论条件概率——Bayes公式定义：()()(|)(|)1,2,...()()(|)kkkkiiiPAHPHPAHPHAkPAPHPAHHi概率)(iHPHi先验概率Hi后验概率)|(AHPk例：有朋自从远方来，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率为1/4，1/3，1/12，乘飞机来则不会迟到。结果他迟到了，问他乘火车来的概率是多少？（0.5）（教材P65习题1-8）主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论合格品数次品数总数第1台35540第2台501060总计85151001212()851000.85()401000.4,()601000.6()351000.35()501000.5PAPBPBPABPAB，，①由条件概率公式求，②利用缩小的样本空间来求，B例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。求由各台车床加工时，出合格品的概率？解：由第一台加工出合格品的概率为，由第二台加工出合格品的概率为，由概率的古典定义：2()PAB1()PAB123550()0.875,()0.8334060PABPAB＝＝121212()()0.350.5()0.875,()0.833()0.4()0.6PABPABPABPABPBPB＝＝主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论概念2——独立•两事件独立：A发生的概率与B发生与否无关。即P(A/B)=P(A)或P(B/A)=P(B)或P(AB)=P(A)P(B)ABABA4×3保持不变P(A)=L(A)/L()=1/56×10可见B变化时，都有P(A/B)=L(AB)/L(B)=1/5=P(A)（A和B独立）但是，A∩B≠（A和B相容）（教材P10）情况1：B4×5情况2：B2×5主讲教师：杨金锋中国民航大学第一章概率论二、两个事件的相容性（属集合论范畴）两个事件互不相容－－表示两个事件不能同时发生。如果把“A与B互不相容”放在概率论范畴去讨论，则表示“A发生B就不能发生”。因A限制了B，则A与B相关。反之，若把“A与B相互独立”放在集合论范畴去讨论，由于P(AB)=P(A)P(B)≠0,{P(A)≠0,P(B)≠