点的投影

第四章点、直线、平面的投影§4.1点的投影§4.2直线的投影§4.3直线上的点§4.4线段的实长和倾角§4.5两直线的相对位置§4.6平面的投影§4.7平面上的点和直线§4.8旋转法——绕投影面垂直轴旋转§4.1点的投影一、点的投影二、点在三投影面体系中的投影三、两点的相对位置ABCDEFGHJI一、点的投影(a)(b)aa(b)(1)点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处;(2)如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。1）两投影面体系的建立VXO水平投影面——H正面投影面——V投影轴——OX2）两投影面体系中点的投影点A的水平投影——a点A的正面投影——aaAZYXa点的两个投影能唯一确定该点的空间位置3）两面投影图的画法HXHVOaaaxxzya点的两面投影图是将空间点向两个投影面作投影后，将两个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90°。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在两个不同的投影面上的投影来表示点得空间位置。4）两面投影图的性质1)、aaOX2)aax=Aa,aax=Aa二、点在三投影面体系中的投影1.点的三面投影2.点的三面投影规律3.三面投影的投影关系4.点的坐标5.例题1.点的三面投影Oa'aaaxayazA点A在H面上的投影点a，称为点A的H面投影；点A在V面上的投影点a'，称为点A的V面投影；点A在W面上的投影点a，称为点A的W面投影。2.点的三面投影规律(1)点的V面投影a'和H面投影a的连线垂直于OX轴(aa'⊥OX)。(2)点的V面投影a'和W面投影a的连线垂直于OZ轴(a'a⊥OZ)。(3)点的H面投影a到OX轴的距离等于点的W面投影a到OZ轴的距离(aax=aaz)。1.aaz=aay=Aa=xA(xA表示A点到W投影面的距离)2.aax=aaz=Aa=yA(yA表示A点到V投影面的距离)3.aax=aay=Aa=zA(zA表示A点到H投影面的距离)4.点的坐标yzyxxz5.例题[例题1]求一点的三个投影[例题2]根据点的坐标作投影图[例题3]已知点A的三面投影，试确定点A的空间位置[例题4]投影面上各点的投影[例题1]已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。a[例题2]已知A点的坐标为x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20,10,15)，求作A点的三面投影图。axayHayw151020aa'a三、点的辅助投影1．点在H/V1体系中的投影2．点在V/H1体系中的投影V1O1X1a'1b'1ααa'1V11.在H/V1体系中的投影zzzX1O1aX1a'12.点在V/H1体系中的投影a1aX1a1X1O1yy三、两点的相对位置1.两点的相对位置2.比较两点的相对位置3.重影点的投影4.立体上重影点的投影1.两点的相对位置aaaAbbbB[例题3]比较判断A、B两点的相对位置(b)b'baa'a[例题4]已知点A在点B之前10毫米，之上15毫米，之右15毫米，其中B点的坐标为（30,20,8）求点A的投影。[例题4]已知点A在点B之前10毫米，之上15毫米，之右15毫米，其中B点的坐标为（30,20,8）求点A的投影。aaa15151030820a(b)a(b)c'(d')e(f)e(f)c'(d')3.重影点的投影上见下不可见前见后不可见左见右不可见4.立体上的重影点EBDCb'edcb(a)(b)(c)a'(e')c'(d')e(d)a(c)a(b)A§4.2直线的投影一、直线的投影二、直线的投影特性三、例题VacebdEBDAC各种位置的直线一、直线的投影acb(a)(b)Ba(c)(b)(c)cab二、直线的投影特性1.一般位置直线2.投影面的平行线3.投影面的垂直线1.一般位置直线(1)一般位置直线的投影特性(2)一般位置直线的指向(3)物体上一般直线的投影分析bb'abaa'(1)一般位置直线的投影特性ABO(2)一般位置直线的指向G(3)物体上一般直线的投影分析2.投影面的平行线(1)投影面平行线的投影特性(2)物体上平行线的投影分析(1)投影面平行线的投影特性BAa'b'ababABb'Oaba'ababa'b'baBAaba'b'abβγb'Oa'αγbaabOaba'b'baαβ(2)物体上平行线的投影分析3.投影面的垂直线(1)投影面垂直线的投影特性(2)物体上垂直线的投影分析（1）投影面垂直线的投影特性BAABBAa'b'b(a)ab(a')b'abababb'a'a(b)a'b'aba(b)baba(a')b'b(a)a'b'ba（2）物体上垂直线的投影分析§4.3直线上的点一、属于直线的点的投影二、例题一、属于直线的点的投影ee'e'eE二、例题[例题5]已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段[例题6]已知点C在线段AB上，求点C的正面投影（解法1）（解法2）[例题7]作正平线CD,与直线AB相交于点D[例题5]已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c'。cc'[例题6（解法1）]已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。c'cabc[例题6（解法2）]已知点C在线段AB上，求点C的侧面投影。c'ca'b'baacb[例题7]作正平线CD,与直线AB相交于点D。dd'addb§4.4直线的实长和倾角求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上经常遇到的问题。而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便．简捷。一、直角三角形法的作图要领用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。二、直角三角形的四个要素直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。四、作图1．求直线的实长及对水平投影面的夹角角2．求直线的实长及对正面投影面的夹角角3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角角|zA-zB|AB1．求直线的实长及对水平投影面的夹角角|zA-zB|ABab|zA-zB|O|zA-zB|2．求直线的实长及对正面投影面的夹角角ABa'b'|yA-yB|AB|yA-yB|O|yA-yB||yA-yB|3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角角|xA-xB|§3-5两直线的相对位置一、两相交直线二、两平行直线三、两交叉直线四、两相互垂直直线一、两相交直线1.相交直线的投影2.例题1.相交直线的投影[例题8]给出平面四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影，试完成四边形的H投影。bcc'd'ab'a'kk'd二、两平行直线1.平行直线的投影2.例题1.平行两直线的投影[例题9]给出平面四边形ABCD的两条边AB、CD的H投影，试完成ABCD的投影。dd'三、两交叉直线1.交叉直线的投影2.交叉二直线重影点投影的可见性判断3.例题1.交叉二直线的投影凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。2.交叉二直线重影点投影的可见性判断判断两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。Gg'(j')Je(f)FEg'(j')jge(f)f'e'3.例题[例题10]判断三棱锥可见性[例题11]判断两直线的相对位置（解法1）（解法2）[例题10]判断三棱锥可见性1(2)1'2'3'(4')34[例题11（解法1）]判断两直线的相对位置dacbOYWYHz[例题11（解法2）]判断两直线的相对位置1'1dc11四、两相互垂直直线1.相互垂直的两直线的投影2.例题1.相互垂直的二直线的投影（a）立体图(b)二直相交线垂直(c)二直相交线垂直(d)二直相交线垂直定理一垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。2.例题[例题12]求一点到水平线的距离[例题13]过一点作两线段的公垂线习题册P27，第11题[例题12]求一点A到水平线BC的距离dd'2yAD§4.5平面的投影一、平面的表示法二、平面的投影三、各种位置平面的投影特性四、例题一、平面的表示方法（a）(b)(c)(d)(e)cbac'b'a'c'cabb'a'abcc'a'b'cc'aa'b'cc'aba'b'dd'd(a)c(b)二、平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcad三、各种位置平面的投影特性1.一般位置平面的投影特性2.投影面垂直面的投影特性3.投影面平行面的投影特性1.一般位置平面的投影特性(1)一般位置平面的投影特性(2)物体上平面的投影分析(1)一般位置平面的投影特性abcca'b'baABC2.投影面垂直面的投影特性(1)投影面垂直面的投影特性(2)物体上垂直面的投影分析YHYWYHYWHαβ(1)投影面垂直面的投影特性γβγα(2)物体上垂直面的投影分析3.投影面平行面的投影特性(1)投影面平行面的投影特性(2)物体上垂直面的投影分析(1)投影面平行面的投影特性(2)物体上平行面的投影分析投影面平行面的投影特性：在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；其余两个投影积聚成直线且分别平行于相应的投影轴。(3)物体上平面的投影分析为侧垂面为一般位置平面为一般位置平面为水平面acsa'c's's(c)a§4.7平面上的直线和点一、平面上的直线二、平面上的点三、投影面垂直面上的点和直线一、平面上的直线1.平面上的直线2.在平面上作正平线和水平线1.平面上的直线MNABCD2.在平面上作正平线和水平线dd'e'e二、平面上的点1.平面上的点2.例题1.平面上的点BDF[例题15]设在四棱台前侧面BCED上有一点A。已知它的水平投影a，求正面投影a'。b'a'f'affaf'a'三、投影面垂直面上的点和直线1.投影面垂直面上的点和直线2.例题QHPHPHPH1.投影面垂直面上的点和直线[例题16]给出两坡顶屋面上一点A的V投影a',求a和a。ayya