本科数学毕业论文：极限求法综述

学生姓名学号学院数学科学学院专业数学与应用数学题目极限求法综述指导教师讲师/硕士2010年11月摘要：极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,1：利用两个准则求极限,2:利用极限的四则运算性质求极限,3:利用两个重要极限公式求极限,4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限,6：利用无穷小量的性质求极限,7：利用等价无穷小量代换求极限,8：利用导数的定义求极限,9：利用中值定理求极限,10：利用洛必达法则求极限,11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限,13：利用泰勒展开式求极限,14：利用换元法求极限。关键词：夹逼准则,单调有界准则,函数的连续性，无穷小量的性质,洛必达法则,微分中值定理,定积分,泰勒展开式.Abstract：Mathematicalanalysisofthelimithasbeenafocusofthecontent,whiletheseriestoLimitcanbedescribedasdiverse,andconcludedbyinduction,wesetouttherequirementsofsomecommonlyusedmethod.Thispapersummarizesthemathematicalanalysisoffourteenmethodsoflimit,1:Limitofusingtwocriteria,2:theuseofarithmeticnatureofthelimitsoftheLimit,3:LimituseoftwoimportantlimitoftheFormula4:Usingasinglesideofthelimitoflimit,5:Usingthecontinuityoffunctionsoflimit,6:thenatureoftheuseoflimitinfinitesimals,7:SubstitutionofequivalentlimitInfinitesimal,8:UsingthedefinitionofderivativeoftheLimit,9:Usingthevaluetheoremoflimit,10:UsingtheLimitHospital'sRule11:theuseofthedefiniteintegralsummationtypelimit,12:ConvergenceofthenecessaryconditionsusingtheLimit,13:LimitofusingtheTaylorexpansion,14:theuseofMethodsubstitutionlimit.Keywords：Squeezeguidelines,criteriaforboundedmonotonefunctioncontinuity,thenatureofinfinitesimals,Hospital'sRule,MeanValueTheorem,definiteintegral,theTaylorexpansion.目录一、引言……………………………………………………………………二、极限的求法………………………………………………………………2.1：利用两个准则求极限………………………………………………2.2：利用极限的四则运算性质求极限……………………………………2.3：利用导数的定义求极限………………………………………………2.4：利用两个重要极限公式求极限………………………………………2.5：利用级数收敛的必要条件求极限…………………………………2.6：利用单侧极限求极限………………………………………………2.7：利用函数的连续性求极限…………………………………………2.8：利用无穷小量的性质求极限………………………………………2.9：利用等价无穷小量代换求极限………………………………………2.10：利用中值定理求极限…………………………………………………2.11：洛必达法则求极限……………………………………………………2.12：利用定积分求和式的极限……………………………………………2.13：利用泰勒展开式求极限………………………………………………2.14：换元法求极限………………………………………………………结论………………………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………………………致谢…………………………………………………………………………………数学分析中极限的求法综述一、引言：极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率□的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K.(T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y＝f(x)在0xx处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。二、极限的求法：2.1：利用两个准则求极限。(1)函数极限的迫敛性（夹逼法则）：若一正整数N,当nN时，有nxnynz且limlim,nnxxxza则有limnxya.利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列ny和nz，使得nnnyxz。例[1]222111.......12nxnnnn求nx的极限解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项2222111.......nnxnnnnnnnn2222111.......1111nnxnnnn则221nnnxnnn又因为22limlim11xxnnnnnlim1nxx（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：[1]证明下列数列的极限存在，并求极限。123,,,,nyayaayaaayaaaa证明：从这个数列构造来看ny显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为21321,,,nnyayyayyay所以得21nnyay.因为前面证明ny是单调增加的。两端除以ny得1nnayy因为1,nyya则naay,从而11naay1naya即ny是有界的。根据定理ny有极限，而且极限唯一。令limnnyl则21limlim()nnnnyya则2lla.因为0,ny解方程得1412al所以141lim2nnayl2.2：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下：若Axfxx)(lim0Bxgxx)(lim0(1))()(lim0xgxfxx)(lim0xfxxBAxgxx)(lim0(2)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(3)若B≠0则：BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000（4）cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00（c为常数）上述性质对于时也同样成立xxx,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限(1)2211lim21xxxx(2)312lim3xxx(3)3113lim()11xxx(4)已知111,1223(1)nxnn求limnnx解：(1)2211lim21xxxx＝1(1)(1)lim(1)(21)xxxxx＝11lim21xxx＝23(2)312lim3xxx＝3(12)(12)lim(3)(12)xxxxx＝33lim(3)(12)xxxx＝14(3)3113lim()11xxx＝2312lim1xxxx＝21(1)(2)lim(1)(1)xxxxxx＝212lim1xxxx＝-1(4)因为111,1223(1)nxnn111111111122334411nnn11n所以1limlim(1)1nnnxn2.3：利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)在0x附近有定义，,x则00()()yfxxfx如果0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则此极限值就称函数f(x)在点0x的导数记为/0()fx.即/0000()()()limxfxxfxfxx在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点0x的导数。例：求2lim()22xxctgx解：取f(x)=2tgx.则22211lim()222lim2(2)2lim22xxxxctgxtgxtgxtgxx＝2()()2lim2xfxfx＝/1()2f＝21(2sec2)2xx＝122.4：利用两个重要极限公式求极限两个极限公式1sinlim)(0xxAxexBxx)11(lim)(但我们经常使用的是它们的变形：))((,))(11lim()()0)((,1)()(sinlim)()(''xexBxxxAx在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求下列函数的极限[4](1)230limlimcoscoscoscos2222nnnxxxx(2)22lim(1)mmnm解：(1)23coscoscoscos2222nxxxx＝231sincoscoscoscossin222222sin2nnnxxxxxxx＝1sin2sin2nnxx23limcoscoscoscos2222nnxxxx＝1limsin2sin2nnnxxsin=lim2sin2nnnxx＝sinxx230limlimcoscoscoscos2222nxnxxxx＝0limxsinxx＝1(2)22lim(1)mmnm＝22222()2lim(1)mnmnmmnm＝2222()2lim(1)mnmnmnm＝0e＝12.5：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数1nn收敛，则0nn运用这个方法首先判定级数1nn收敛，然后求出它的通项的极限例：2求2lim!nnnn解：设2!nnnan则2112!(1)li