工科概率统计2-4

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布习题课一、基本内容与结论二、类题解析概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布随机变量离散型分布律连续型概率密度常见分布分布函数常见分布函数分布均匀分布,正态分布,指数分布0-1分布,二项分布,泊松分布随机变量离散型分布律连续型概率密度常见分布分布函数常见分布函数分布均匀分布,正态分布,指数分布0-1分布,二项分布,泊松分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布1、离散型随机变量及其的分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为，，，，nxxx21并设,2,1npxXPnn则称上式或X1x2x，nxP1p2p，np为离散型随机变量X的分布律．一、基本内容与结论概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．2.离散型随机变量分布律的性质:0npn，有⑴对任意的自然数1nnp⑵概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布3.分布函数设X是一个随机变量，x是任意实数，函数}{)(xXPxF称为X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1x2)，有：).()(}{}{}{121221xFxFxXPxXPxXxPx1x2xXo}{)(xXPxF0xxX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布4.连续型随机变量的概率密度由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：.0)()1(xf.1)()2(dxxff(x)0x10)(,)()(1xfdttfxFRxx其中，有若为连续型随机变量。则称随机变量X)()(,)()()()3(2121xfxFdxdxfxdxxfxXxPxx则的连续点为若概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布5、常见的一维离散型随机变量(1)(0-1)分布设随机变量X只能取两个值，它的分布律为)10(1,0,)1(1pkppkXPkk则称X服从(0-1)分布或两点分布。(2)二项分布设随机变量X的分布律为概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布.10,,,2,1,0)1()(pnkppknkXPknk则称X服从二项分布,记作X~),(pnB(3)几何分布若随机变量X的概率函数如上式，则称X具有几何分布.,2,1kppkXPk1)1()(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布（4）波松分布设随机变量X的分布律为).(~,,0,,2,1,0,!PXXkekkXPk记作服从波松分布则称数是常其中波松定理:在n重贝努里试验中,事件A在一次试验中发生的概率为次(与试验次数有关)如果np常数），则有0(limnnnp,2,1,0,!),;(limkenpnkBknn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b))(xfab其它,0,1)(bxaabxf6、常见的几个连续型分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.（2）若r.vX具有概率密度000)(xxexfx0常简记为X~E().概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布(3)正态分布的密度函数为如果连续型随机变量Xxexfx22221态分布．记作的正，参数为服从，则称随机变量2Xxf(x)0，为参数，其中02~，NX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布数为标准正态分布的密度函xexx2221)(1)(2122xxxdtedttxxtx其分布函数为概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布)1,0(~~2NXYNX，则，设}{yXPyYPyFYytdte22221，代入上式，得，则作变换dtdutuyuYdueyF2221y}{yXP}{)(xXPxFX)(}{xxXP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布函数．是标准正态分布的分布其中，x).()-b(b}XP{a,aba有故对任意的}{)(xXPxFX)(}{xxXP7、随机变量函数的分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布其它,0,)()]([)(ydyydhyhfyfY其中，),(minxgbxa),(maxxgbxax=h(y)是y=g(x)的反函数定理设X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为0)(xg0)(xg概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布二、类题解析例1.求分布律与概率密度地抽现从中随机地一次一只只双不同的鞋共,63)1(.,的分布律次数试求能凑成一双的抽取取X取各个值的概率为的所有可能值为解,4,3,2:X2616)2(PXP,5136246)3(PXP,52463246)4(PXP,52概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布的分布律为则XXkp234525251为设随机变量的概率密度)2(其它,010,2)(xxxf.,1.0,的分布律试求随机变量的次数表示观察值不大于以次独立重复观察进行现在对nnVVnX次独立重复进行对观察值设事件解nXXA},1.0{:概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布其中二项分布发生的次数事件观察),,(,pnBVAn1.002xdxp01.0的分布律为则nV.,,2,1,0,)99.0()01.0()(nkCkVPknkknn的分布函数为设随机变量X)3(3,131,8.011,4.01,0)(xxxxxF概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布的分布律为则XXkp1132.04.04.0例2.求分布函数的分布律为设随机变量X)1(Xkp02412141.求其分布函数的分布函数为解：XxxxxxF,12,4320,410,0)(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布是随机变量的分布函数的在下述函数中可以作为)2([]xxxFA,11)(.2xxxFB,21arctan1)(.0,0)(;0),1(21)(.xxFxexFCx1)(,)()(.dxxfdttfxFDx其中;,0)(,11)(.2不能选解：FxxFA;,21)(),1(21)(.不能选FexFCxB概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布;,0)(,1)(,)()(.不能选未指明其中xfdxxfdttfxFDx事实上必选.BxxxFB,21arctan1)(.①;1)(0,xF且单调增加函数②1)(lim,0)(limxfxFxx③.)(是连续函数xF例3.求概率分布中的参数及其它问题的概率密度为设随机变量X)1(0,00,)(22xxeAxxfx.A求概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布知性解：由归,1,1202dxeAxx则令,,221dydxxydyeAyy21022)(dyeyyA0138)3(8A01)(dyeyxyx,4A.4,14AA得由C概率的增大则随设随机变量,),,(~)2(2NX)(XP[]单调增大.A单调减少.B保持不变.C增减不定.D得解：由),1,0(~NX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布6826.01)(XPXP..C应选无关由此可见所给概率与例4.求事件的概率连独立地制造三个同种一实习生用一台机器接)1().2(,),3,2,1(,11,XPXiipii求的个数表示三个零件中合格品以率为个零件是不合格品的概第零件3,2,1},{iiAi个零件为合格品第解：设事件)()()()2(32__13__21__321AAAPAAAPAAAPXP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布433221433121413221.2411求且设随机变量,3.0)42(),,2(~)2(2XPNX).0(XP24222)42(XPXP解：220XP22)0(),1,0(~2XPXPNX其中概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布得数的对称性由标准正态分布密度函,)0(XP220XP22XP.2.03.05.0例5.随机变量函数的分布P(X=k)X12n的分布律为设随机变量X)1(1222n2:试求①;2的分布律XY②.2sin的分布律XY②相应的概率为的可能值是,1,0,1Y概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布:解①,,,2,122nY的可能值是,2)1(1YP,3,2,2)(2kkYPk②相应的概率为的可能值是,1,0,1Y1)14()1(kkXPYP)7()3(XPXP437321222,1521)2()0(kkXPYP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布)4()2(XPXP224221222,311)34()1(kkXPYP)5()1(XPXP415121222,158的分布律为得XY2sin,X101kp152155158概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第二章、随机变量及其分布试证是严格单调增加函数的分布函数已知,)()2(xFX.]10[)(上服从均匀分布，在XFY),(yFYY的分布函数为证明：令)()(yYPyFY))((yXFP))((1yFXP,10,))((1yyyFF,1,110,0,0)(yyyyyFY于是,,010,1)(其它的密度为则yyf