工科概率统计3-2

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布第二节二维r.v.的条件分布与随机变量的独立性一、二维离散r.v.的条件分布律§3.2离散条件分布二、二维连续型随机变量的条件分布和条件密度三、随机变量的独立性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布,2,1,,),(jipyYxXPijji设二维离散型r.v.(X,Y)的分布若0)(1jijiipxXPp则称iijijippxXPyYxXP)(),(为在X=xi的条件下,Y的条件分布律,2,1j)(ijxXyYP记作一、二维离散r.v.的条件分布律§3.2离散条件分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布若,0)(1iijjjpyYPp则称jijjjippyYPyYxXP)(),(为在Y=yj的条件下X的条件分布律,2,1i)(jiyYxXP记作类似乘法公式)()(),(ijijixXyYPxXPyYxXP)()(jijyYxXPyYP或,2,1,ji概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布类似于全概率公式),()(11jjijijiyYxXPpxXP)()(1jjjiyYPyYxXP,2,1i),()(11ijiiijjyYxXPpyYP)()(1iiijxXPxXyYP,2,1j概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例1把三个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,每盒可容球数无限.记X为落入1号盒的球数,Y为落入2号盒的球数，求例1(1)在Y=0的条件下，X的分布律；(2)在X=2的条件下，Y的分布律.解先求联合分布，)()(),(iXjYPiXPjYiXPjijjiiiiCC333321213231;3,2,1,0;3,,0iij其联合分布与边缘分布如下表所示概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布XYpij0123012327127127127191912710009191009191920pi•278278929294941p•j概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布X)0(YiXP01238/18/38/18/3将表中第一行数据代入得条件分布)0()0,()0(YPYiXPYiXP27/8)0,(YiXP3,2,1,0i(1)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布Y)2(XjYP012/12/1(2)当X=2时，Y只可能取0与1.将表中第三列数据代入下式)2(XjYP,9/2),2(jYXP1,0j得Y的条件分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布解例2例2已知一射手每次击中目标概率为p(0p1),射击进行到击中两次为止.令X表示首次击中目标所需射击次数,Y表示总共射击次数.求的联合分布律、条件分布律和边缘分布律.),(YX由题设知故X与Y的边缘分布律分别为,)1(1mpp)(mXP,2,1m,)(~pGX),2(~pPY)(nYP,3,2n,)1()1(22nppn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布22)1(npp)()(mXnYPmXP),2,1;,2,1(mmnm的联合分布律为),(YX11)1()1(mnmpppp),(nYmXP律为当时,X的条件分布),3,2(nnY)(),()(nYPnYmXPnYmXP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布1,,2,1nm11)1()1()1(2222nppnppnn1122)1()1()1(mnmnpppppp,2,1mmn)(mXnYP当时,Y的条件分布),2,1(mmX,2,1mmn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布,2,1mmn二、二维连续型随机变量的条件分布和条件密度()ijPXxYy当X连续时,条件分布不能用来定义,因为,()0ijPXxYy()PXxYy来定义.而应该用概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布)(),()(yYyyPyYyyxXPyYyyxXPxy-yy)()(),(),(yyFyFyyxFyxFYY)()()()(),(),(yyFyyFyyxFyyxFYYy设0y概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布xy-yydyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYx连续连续,0)(),(yfyxfY)(def.yYxXP)()()()(),(),(lim0yyFyyFyyxFyyxFYYy概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布若f(x,y)在点(x,y)连续,fY(y)在点y处连续且fY(y)0,则称dyydFyyxFY)(),()(),(yfduyufYxxYduyfyuf)(),(为Y=y时，X的条件分布函数,记作()XYFxy定义xYduyfyuf)(),(概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布类似地,称yXdvxfvxf)(),(为X=x的条件下Y的条件分布函数;()YXFyx(,)()Xfxyfx为X=x的条件下Y的条件p.d.f.)(xyfXY(,)()Yfxyfy称为Y=y的条件下X的条件p.d.f.)(yxfYX称概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布注意y是常数,对每一fY(y)0的y处,只要),(xyFXY)(xyfXY相仿论述.0)()()(),(xfxyfxfyxfXXYX0)()()(yfyxfyfYYXY),(yxFYX)(yxfYX仅是x的函数,类似于乘法公式：符合定义的条件,都能定义相应的函数.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布类似于全概率公式dyyfyxfdyyxfxfYYXX)()(),()(dxxfxyfdxyxfyfXXYY)()(),()(类似于Bayes公式)(),(yfyxfY)(yxfYX)()()(yfxfxyfYXXY)(),(xfyxfX)(xyfXY)()()(xfyfyxfXYYX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例3已知(X,Y)服从圆域x2+y2r2上的均匀分布,求),(yxfYX).(xyfXYr解其他,0,1),(2222ryxryxfdyyxfxfX),()(rxrdyrxrxr,12222222xr22xrx其他,0,2222rxrrxr-r其他,0=例3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布同理，dxyxfyfY),()(其他,0,2222ryrryr边缘分布不是均匀分布！概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布)(),(yfyxfY)(yxfYX当–ryr时，其他,0,21222222yrxyryr22yr22yry—这里y是常数，当Y=y时，2222,~yryrUX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布)(),(xfyxfX)(xyfXY当–rxr时，其他,0,21222222xryxrxr—这里x是常数，当X=x时，2222,~xrxrUY22xr22xrx概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例4已知;,;,~),(222211NYX求)(yxfYX解)(yxfYX)(),(yfyxfY222222222121212122)(2)())((2)()1(2122121121yyyxxee例4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布)()()1(21212211221121yxe同理，)(xyfXY)1(),(~2221122xN)1(),(~2212211yN)(yxfYX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例5设其他,010,0,8),(yyxxyyxf求)(yxfYX)(,xyfXY解11其他,010,8)(1xxydyxfxX其他,010),1(42xxx例5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布11其他,010,8)(0yxydxyfyY其他,010,43yy当0y1时，)(yxfYX)(),(yfyxfYy其他,00,22yxyx当0x1时，11x)(),(xfyxfX)(xyfXY其他,01,122yxxy概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布11其他,01,8yxxy当fX(x)=0时，f(x,y)=0故其他,010,0,8),(yyxxyyxf概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例6已知)(xyfXY其他,01,122yxxy其他,010),1(4)(2xxxxfX求2132),5.0(),1(XYPYPYXP例6)()(),(xfxyfyxfXXY当fX(x)0时，即0x1时，解概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布x+y=1)1(YXP)5.0(YP110.5yyxydxdy115.0865110.521008yxydxdy161概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布2132XYP110.5323221dyyfXY322125.012dyy322138dyy277概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布三、随机变量的独立性设(X,Y)为二维r.v.若对任何)()(),(yYPxXPyYxXP则称r.v.X和Y相互独立1、两个r.v.的相互独立性实数x,y都有§3.3定义——将事件独立性推广到r.v.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布由定义知,二维r.v.(X,Y)相互独立)()(),(yFxFyxFYX)()(),(,dYcPbXaPdYcbXaPdcba