工科概率统计4-1

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好;又要看纤维长度与平均长度的偏离程度例如：考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.第四章随机变量的数字特征概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征由上面例子看到，与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征第一节随机变量的数学期望一、数学期望的定义二、数学期望的性质概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征引例学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负§4.1加权平均初赛复赛决赛总成绩算术平均甲乙9085532287688805722575胜者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673.770.066.873.270.167.8甲乙乙概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征0.70为这3个数字的加权平均5.0533.0852.09031iiipx称数学期望的概念源于此概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征设X为离散r.v.其分布为,2,1,)(kpxXPkk若无穷级数1kkkpx其和为X的数学期望记作E(X),即1)(kkkpxXE一、数学期望的定义定义绝对收敛,则称概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征设连续r.v.X的d.f.为)(xf若广义积分dxxxf)(绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即dxxxfXE)()(数学期望的本质——加权平均，它是一个数不再是r.v.定义概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例1X~B(n,p),求E(X).解nkknkknppkCXE0)1()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1()!()!1()!1(10)1(1)1(nkknkknppCnpnp特例若Y~B(1,p),则E(Y)p例1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例2X~N(,2),求E(X).解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令例3设X~参数为p的几何分布,求E(X).解11)1()(kkpkpXEpxkkkxp111pxkkxp1'1pxppx1)1(112例2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征常见r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pXPpXP1)0()1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn,,2,1,0)1()(npP(),2,1,0!)(kkekXPk概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它,0,,1)(bxaabxf2baE()其它,0,0,)(xexfx1N(,2)222)(21)(xexf概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征注意不是所有的r.v.都有数学期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为xxxf,)1(1)(2dxxxdxxfx)1(||)(||2但发散它的数学期望不存在!概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征设离散r.v.X的概率分布为,2,1,)(ipxXPii若无穷级数1)(iiipxg绝对收敛，则1)()(iiipxgYE设连续r.v.的d.f.为f(x)dxxfxg)()(绝对收敛,则dxxfxgYE)()()(若广义积分r.v.函数Y=g(X)的数学期望概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征设离散r.v.(X,Y)的概率分布为,2,1,,),(jipyYxXPijjiZ=g(X,Y),1,),(jiijjipyxg绝对收敛,则1,),()(jiijjipyxgZE若级数概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征设连续r.v.(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)，Z=g(X,Y),dxdyyxfyxg),(),(绝对收敛,则dxdyyxfyxgZE),(),()(若广义积分概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例3设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求22YXZ的数学期望.解dxdyyxfyxZE),()(22dxdyeyxyx22222212002221drdrerr2例3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征解(1)设整机寿命为N,}{min5,,2,1kkXN,))(1(1)(51kkNxFxF其它，,0,0,15xex五个独立元件,寿命分别为,,,,521XXX都服从参数为的指数分布，若将它们(1)串联；(2)并联成整机，求整机寿命的均值.例4例4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征其它，,0,0,5)(5xexfxN即N~E(5),51)(NE(2)设整机寿命为}{max5,,2,1kkXM51)()(kkMxFxF其它，,0,0,)1(5xex其它，,0,0,)1(5)(4xeexfxxM概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征dxxxfMEM)()(04)1(5dxexexx6013711)()(5160137NEME可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例5设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max(X,Y)).解22221)()(),(yxYXeyfxfyxfdxdyyxfyxYXE),(},max{}),(max{D1D221),(},max{),(},max{DDdxdyyxfyxdxdyyxfyx例5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征222122222121DyxDyxdxdyexdxdyeydyyedxexyx222211dyyedxexyx222221dxxedyeyxy222221dxex21其中称为概率积分dxex22)(2dxexdydxeyx)(22dydxeyx0)(0224概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征一般地，若),,(~),,(~22NYNXX,Y相互独立，则}),(max{YXE}),(min{YXEdydxeyx0)(022400224rdredr2124所以dxex2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征E(C)=CE(aX)=aE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)CXEaCXaEniiiniii11)(当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).若存在数a使P(Xa)=1,则E(X)a；若存在数b使P(Xb)=1,则E(X)b.二、数学期望的性质常数期望性质概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征设X连续，d.f.为f(x),分布函数为F(x),则)(1)(aXPaXP1)(1aF0)(aFaxxF,0)(axxf,0)(故adxxxfXE)()(adxxaf)(a证性质5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例6一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).例6解:引入Xi,i=1,2,…,10站无人下车。第站有人下车，第iiXi,0,11021XXXX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征10,,2,1,1091)(20iXEi)()(1021XXXEXE,109)0(20iXP201091)1(iXP)()()(1021XEXEXE20109110)(784.8次概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例7设二维r.v.(X,Y)的d.f.为其它,0,10,20),31(41),(2yxyxyxf求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解dxdyyxxfXE),()(20102)31(41dyyxdxx34dxdyyxyfYE),()(20102)31(41dyyyxdx85例7概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征24478534)()()(YEXEYXE)(XYE658534由数学期望性质X,Y独立dxdyyxfxyXYE),(20102)31(2121dyyydx)()(321585XEYE)()(YEXE概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征据统计65岁的人在10年内正常死亡解例8的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=1~1000.则Xi~0.980.02100100a应用1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征由题设02.0)100(98.0100)(aXEi002.0100a5000100a公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为.20100000)