工科概率统计4-3

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征第三节协方差和相关系数§4.4一、协方差和相关系数的定义二、协方差和相关系数的性质三、矩、协方差矩阵概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.[()][()]EXEXYEY数反映了随机变量X,Y之间的某种关系§4.4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征cov(,)[()][()]XYEXEXYEY称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X,Y）的协方差矩阵一、协方差和相关系数的定义称[()][()]EXEXYEY为X,Y的协方差.记为定义定义概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征若D(X)0,D(Y)0,称)()(),cov()()()())(((YDXDYXYDXDYEYXEXE为X,Y的相关系数，记为)()(),cov(YDXDYXXY事实上，),cov(YXXY若,0XY称X,Y不相关.无量纲的量概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征若(X,Y)为离散型，11cov(,)[()][()]ijijijXYxEXyEYp若(X,Y)为连续型，cov(,)[()][()](,)XYxEXyEYfxydxdy协方差和相关系数的计算)()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征求cov(X,Y),XY.10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij1010p00q0p1p+q=1解10pqXYP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征,)(,)(,)(,)(pqYDpqXDpYEpXE,)(pXYE1,),cov(XYpqYX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例2设(X,Y)~N(1,12;2,22;),求XY解dxdyyxfyxYX),())((),cov(21dsdtesttts22221)()1(21dudteutttu22221)1(2)(例222112uts令22112sx11ty22概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征dtetduetu222212)1(22211221XY若(X,Y)~N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立X,Y不相关概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例3设~U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY解其他,20,21)(ttf,021)cos()(,021cos)(2020dttYEdttXE例3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征cos2121)cos()cos()(20dtttXYEcos21),cov(YX,2121)(cos)(,2121cos)(20222022dttYEdttXE,21)(,21)(YDXDcosXY概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征,0若1XYXY,若1XYXY1||XYYX,有线性关系,23,2若0XYYX,不相关，但YX,不独立，YX,没有线性关系，但有函数关系122YX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征协方差的性质cov(,)cov(,)XYYX),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX)(),cov(XDXX二、协方差和相关系数的性质协性质()()()EXYEXEY概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征)()(|),cov(|2YDXDYX当D(X)0,D(Y)0时，当且仅当0()[()]1PYEYtXEX时,等式成立—Cauchy-Schwarz不等式证令2()[()][()]gtEYEYtXEX)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg对任何实数t,概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(|),cov(|2YDXDYX等号成立0)(tg有两个相等的实零点)()()(),cov(0XDYDXDYXt0)(0tg即0))](())([(20XEXtYEYE显然0))](())([(0XEXtYEYE概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征0))](())([(0XEXtYEYD1]0))(())([(0XEXtYEYP1]0))(())([(0XEXtYEYP即1))](())([(0XEXtYEYP即Y与X有线性关系的概率等于1,这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征完全类似地可以证明)()()(222YEXEXYE当E(X2)0,E(Y2)0时,当且仅当1)(0XtYP时,等式成立.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征相关系数的性质1||XY1||XYCauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1XYP系性质.)(/)(,)(/)(YDEYYYXDEXXX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征1XY0),cov(YX1XY0),cov(YX1XYP1XYP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征如例1中X,Y的联合分布为XYpij1010p00q0p1p+q=1./)(,/)(pqpYYpqpXX1)(YXP1XY已求得,则必有其中概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征0XYX,Y不相关0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征例4设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ解,4)()(,1)()(YDXDYEXE1/2,cov(,)2XYXY6),cov(),cov(),cov(YXXXZX12),cov(2)()()()(YXYDXDYXDZD3/123/2.XZ例4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征三、矩、协方差矩阵定义,2,1})]({[kkXXEXEk阶中心矩，的为称,2,1)(kkXXEk阶矩，的为称如果存在的话。,,2,1)(kjkYXYXEjk阶混合矩，的和为称,2,1j如果上述矩存在的话,可由数学期望的运算性质计算.设有四个二阶中心矩设二维随机变量,),(21XX分别记为它们存在,概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征}.)]({[)]},()][({[)]},()][({[},)]({[222221122212211122111XEXEcXEXXEXEcXEXXEXEcXEXEc称矩阵22211211cccc的协方差矩阵。为随机变量),(21XX的二阶混合中心矩维随机变量设),,,(21nXXXn)]}()][({[),cov(jjiijiijXEXXEXEXXcnji,,2,1,概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征都存在时，则称矩阵nnnnnncccccccccC212222111211的协方差矩阵。维随机变量为),,,(21nXXXn阵。则协方差矩阵为对称矩显然,jiijcc的密度函数改为，量下面将二维正态随机变YX另一种形式。概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征22222121212122212121exp121yyxxyxf，22212121222112112121,,ccccCxxX令212121221det1CC则22112121212222111'),(det1)()(xxxxCXCX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征22222212211212112)())((2)(11xxxx)()(21exp)(det)2(1),(),(1'21222121XCXCxxfXX的概率密度函数可写成于是的情形，维正态随机变量于是可推广到),,(21nXXXn,)()(,212121XEXExxX令的概率密度函数为，维正态随机变量于是),,(21nXXXn概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征)()(21exp)(det)2(1),,,(1'21221XCXCxxxfnn.),,(C21的协方差矩阵，维正态随机变量是其中nXXXn具有下列重要性质：，维正态随机变量),,(21nXXXn;),,,(,,,,),,()1(212121维正态变量是立，则都是正态变量且相互独若正态变量；反之都是的每一个分量，维正态随机变量nXXXXXXXXXXnnnin的任意线性组合：条件是要服从正态分布的充分必，维随机变量nnXXXXXXn,,,),,()2(2121nnXlXlXl2211概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第四章、随机变量的数字特征).,,(21不全为零，其中服从一维正态分布，nlll.),,,(),,2,1(,,,),,()3(212121服从多维正态分布也的线性函数，则是维正态分布；设服从，若随机变量kjknYYYnjXYYYnXXX关是等价。相互独立与两两互不相维正态分布；则服从，若随