IPC6012规范(中文版)

第四篇三角函数、解三角形(必修4、必修5)六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图命题特点1.从高考题型、题量来看,一般有两种方式:三个小题或一个小题另加一个解答题,分值上大约占17分左右.2.客观题主要考查:三角函数的定义,图象与性质,同角三角函数关系,诱导公式,和、差、倍角公式,正、余弦定理等知识.3.难度较大的客观题,主要在知识点的交汇处命制,如向量与三角的结合、正、余弦定理与三角恒等变换的结合等,主要考查数形结合、转化与化归思想.4.解答题涉及知识点较为综合.在一个解答题中涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识链条完善考点专项突破易混易错辨析知识链条完善把散落的知识连起来【教材导读】1.相等角的终边一定相同,终边相同的角一定相等吗?提示:不一定,因为终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍.2.若已知角α终边上任意一点P(x,y)(原点除外),你能用x,y表示角α的正弦、余弦、正切吗?提示:能,sinα=22yxy,cosα=22xxy,tanα=yx(x≠0),当x=0时,tanα不存在.知识梳理1.角的有关概念(1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所成的.旋转图形 2正角：按方向旋而成的角按旋方向不同分角：按方向旋而成的角零角：射有旋角的分象限角：角的在第几象限，按位置不同分角就是第几象限角角：角的落在逆坐上转转类负转线没转类终边终边类这个轴线时针顺时针终边标轴(3)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}.α+k·360°,k∈Z2.弧度制(1)定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|=lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°=π180rad②1rad=180π°弧长公式弧长l=|α|r扇形面积公式S=12l·r=12|α|·r2半径长(3)规定正角的弧度数是一个,负角的弧度数是一个,零角的弧度数是0.正数负数3.任意角的三角函数(1)定义设角α终边与单位圆交于P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=yx(x≠0).(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦.(3)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的、余弦线、.正弦线正切线(4)终边相同的角的三角函数:sin(α+k·2π)=,cos(α+k·2π)=,tan(α+k·2π)=(其中k∈Z),即终边相同的角的同一三角函数的值相等.sinαcosαtanα夯基自测1.(2015肇庆模拟)274π是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角B解析:27π4-6π=3π4,终边落在第二象限.2.(2016济南模拟)已知角α的终边在直线y=-x上,且cosα0,则tanα等于()(A)22(B)-22(C)1(D)-1D解析:在角α的终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tanα=yx=xx=-1.3.若sinα0,且tanα0,则α是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角解析:由sinα0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上;由tanα0知α的终边在第一或第三象限,故α是第三象限角.C4.若α与β的终边关于x轴对称,则有()(A)α+β=90°(B)α+β=90°+k·360°,k∈Z(C)α+β=2k·180°,k∈Z(D)α+β=180°+k·360°,k∈Z解析:因为α与β的终边关于x轴对称,所以β=2k·180°-α,k∈Z.C5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为,面积为.解析:弧长l=3π,圆心角α=34π,由弧长公式l=|α|·r,得r=l=3π3π4=4,面积S=12lr=6π.答案:46π考点专项突破在讲练中理解知识考点一象限角与终边相同的角【例1】(1)设集合M=18045,2kxxk。。Z,N=18045,4kxxk。。Z,判断两集合的关系()(A)M=N(B)MN(C)NM(D)M∩N=解析:(1)由于M=18045,2kxxk。。Z={…,-45°,45°,135°,225°,…},N=18045,4kxxk。。Z={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有MN.故选B.答案:(1)B(2)若α是第三象限角,则3所在的象限为.解析:(2)因为π+2kπα3π2+2kπ(k∈Z),所以π3+2π3k3π2+2π3k(k∈Z),当k=3n(n∈Z)时,π3+2nπ3π2+2nπ(n∈Z);当k=3n+1(n∈Z)时,π+2nπ37π6+2nπ(n∈Z);当k=3n+2(n∈Z)时,5π3+2nπ3116π+2nπ(n∈Z).所以3的终边在第一、三、四象限.答案:(2)一、三、四反思归纳(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.【即时训练】终边在直线y=3x上,且在[-2π,2π)内的角α的集合为.解析:如图,在坐标系中画出直线y=3x,可以发现x轴由正向与直线向上方向所成的角是π3,在[0,2π)内,终边在直线y=3x上的角有两个:π3,43π;在[-2π,0)内满足条件的角有两个:-23π,-53π,故满足条件的角α构成的集合为{-53π,-23π,π3,43π}.答案:{-53π,-23π,π3,43π}考点二弧度制及扇形面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;解:(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=60°=π3rad,R=10cm,l=π3×10=10π3(cm),S弓=S扇-S三角形=12×10π3×10-12×102×sinπ3=503π-5033=50(π3-32）(cm2).(2)若扇形的周长是一定值C(C0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?解:(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,所以R=2C,所以S扇=12α·R2=12α·(2C)2=22Cα·2144=22C·144≤216C.当且仅当α2=4,即α=2rad时,扇形面积有最大值216C.反思归纳涉及弧长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示.弧长和扇形面积公式:l=|α|R,S=12|α|R2.【即时训练】(2015莆田模拟)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为()(A)2(B)4(C)6(D)8解析:设扇形的半径为r,弧长为l,则由扇形面积公式可得2=12lr=12r2α=12r2×4,求得r=1,l=αr=4,所以求得扇形的周长为2r+l=6.故选C.三角函数的定义及应用解析:(1)由cosα≤0,sinα0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上,所以有390,20,aa＞即-2a≤3.即a的取值范围为-2a≤3.故选A.考点三【例3】(1)(2016汉中模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα0,则实数a的取值范围是()(A)(-2,3](B)(-2,3)(C)[-2,3)(D)[-2,3]答案:(1)A解析:(2)由正弦定义得sinα=yr=222cos22sin22cos=-cos2.(2)(2015济南质检)已知角α终边经过点P(2sin2,-2cos2),则sinα=.答案:(2)-cos2反思归纳(1)三角函数定义中的关键是求r,若终边上的点同时在单位圆上,则r=1.(2)根据三角函数定义中x,y的符号来确定各象限三角函数的符号,理解并记忆:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.sin2·cos3·tan4的值()(A)小于0(B)大于0(C)等于0(D)不存在解析:因为sin20,cos30,tan40,所以sin2·cos3·tan40.故选A.【即时训练】备选例题【例1】已知锐角α的终边上一点P(sin40°,1+cos40°),则锐角α等于()(A)80°(B)70°(C)20°(D)10°解析:据三角函数定义知,tanα=1cos40sin40。。=22cos202sin20cos20。。。=cos20sin20。。=sin70cos70。。=tan70°.故锐角α=70°.故选B.【例2】函数y=1cos2x的定义域为.解析:因为-12-cosx≥0,所以cosx≤-12,作直线x=-12交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,如图,阴影部分为角x终边的范围,故满足条件的x的集合为{x︱23π+2kπ≤x≤43π+2kπ,k∈Z}.答案:{x︱23π+2kπ≤x≤43π+2kπ,k∈Z}【例3】若θ是第二象限角,则sincoscossin0.(填“”“”或“=”)解析:因为θ是第二象限角,所以-1cosθ0,0sinθ1,所以sin(cosθ)0,cos(sinθ)0,所以sincoscossin0.答案:【例4】(2015临沂模拟)顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角α,β的终边与圆心在原点的单位圆交于A,B两点,若α=30°,β=60°,则弦AB的长为.解析:由三角函数的定义得A(cos30°,sin30°),B(cos60°,sin60°),即A(32,12),B(12,32).所以|AB|=2213312222=2(32-12)=622.答案:622易混易错辨析用心练就一双慧眼利用定义求三角函数值的误区【典例】(2015杭州模拟)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sinα+5cosα+4tanα=.解析:因为角α的终边在直线3x+4y=0上,所以在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则r=2243tt=5|t|,当t0时,r=5t,sinα=35tt=-35,cosα=45tt=45,tanα=34tt=-34,所以5sinα+5cosα+4tanα=-3+4-3=-2;当t0时,r=-5t,sinα=35tt=35,cosα=45tt=-45,tanα=34tt=-34.所以5sinα+5cosα+4tanα=3-4-3=-4.综上,所求值为-2或-4.答案:-2或-4易错提醒:(1)本题在求解时容易忽略r=5|t|,直接写成5t,导致丢失答案.(2)利用三角函数的定义求角的三角函数值的关键点是确定出终边上点P的横、纵坐标及P点到原点的距离.(3)角的终边是射线而直线是向两边延伸,所以角的终边落在直线上,位置应有两种.解题中易误认为一种情况而出错.