频域分析法-奈氏判据

1第4章控制系统的频域分析三、频率域稳定判据四、稳定裕度五、闭环系统的频域性能指标2三、频率域稳定判据本节主要内容：1、奈氏判据的数学基础2、奈奎斯特稳定判据3、对数频率稳定判据31932年，Nyquist提出了另一种判定闭环系统稳定性的方法，称为奈奎斯特稳定判据，简称奈氏判据。这个判据的主要特点是利用开环频率特性判定闭环系统的稳定性。此外，奈氏稳定判据还能够指出稳定的程度，揭示改善系统稳定性的方法。因此，奈氏稳定判据在频率域控制理论中有着重要的地位。三、频率域稳定判据4奈氏判据的数学基础1、辐角原理设s为复数变量，为s的有理分式函数，且有由复变函数理论知道，在s平面上任选一条闭合曲线Γ，且不通过的任一零点和极点，s从闭合曲线Γ上任一点A起，顺时针沿Γ运动一周，再回到A点，则对应的平面上亦从点起，到点止形成一条闭合曲线ΓF。三、频率域稳定判据（1）()Fs()Fs)())(()())(()(21211nnpspspszszszsKsF()Fs()FA()FA5复变函数的相角为若s平面上闭合曲线Γ以顺时针方向包围的Z个零点，则在平面上的映射曲线ΓF将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。若s平面上的闭合曲线Γ以顺时针方向围绕着的P个极点旋转一周，则其在平面上的映射曲线ΓF将按逆时针方向围绕坐标原点旋转P周。见下张图示。三、频率域稳定判据（2）nllniipszssF11)()()(()Fs6由此可得幅角原理：设s平面闭合曲线Γ包围的Z个零点和P个极点，则s沿Γ顺时针运动一周时，在平面上，闭合曲线ΓF包围原点的圈数为：R=P-ZR0和R0分别表示ΓF顺时针包围和逆时针包围平面的原点，R=0表示不包围平面的原点。三、频率域稳定判据（3）()Fs()Fs1021s21s平面2p1p1z2zjFF0ReImF(s)平面72、复变函数的选择选择具有以下特点：1）的零点为闭环传递函数的极点，的极点为开环传递函数的极点；2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，故的零点和极点数相同；3）s沿闭合曲线运动一周所产生的两条闭合曲线和只相差常数1，即闭合曲线可由沿实轴正方向平移一个单位长度获得。三、频率域稳定判据（4）()()()()1()()1()()BsAsBsFsGsHsAsAs()Fs()Fs()Fs()FsFGHFGH8图三、频率域稳定判据（5）93、s平面闭合曲线Γ的选择系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点，即的零点的位置，因此当选择s平面闭合曲线Γ包围s平面的右半平面时，若Z=0，即闭环特征根均位于左半s平面，则闭环系统稳定。考虑到前述闭合曲线Γ应不通过的零点和极点的要求，Γ可取下图所示的两种形式。（a）（b）三、频率域稳定判据（6）()Fs()Fsjejennnn000jjjej010当G(s)H(s)无虚轴上的极点时，闭合曲线Γ选择包括虚轴的s平面的右半平面，如上图a所示，闭合曲线Γ由两部分组成：1），即圆心为原点、第Ⅳ象限中半径为无穷大的圆；，即负虚轴。2），即正虚轴；，即圆心为原点、第Ⅰ象限中半径为无穷大的圆。三、频率域稳定判据（7）,0,90jse1/4,,0sj,0,sj,0,90jse1/411当G(s)H(s)在虚轴上有极点时，可选择以虚轴极点为圆心，半径无穷小的半圆避开虚轴极点，在图a所选闭合曲线Γ的基础上加以扩展，构成图b所示的闭合曲线Γ。1）开环系统含有积分环节时，在原点附近，取（为正无穷小量，），即圆心为原点、半径为无穷小的半圆。2）开环系统含等幅振荡环节时，在附近，取（为正无穷小量，），即圆心为、半径为无穷小的半圆。按上述曲线Γ，F(s)函数位于s右半平面的极点数即G(s)H(s)位于s右半平面的极点数P应不包括G(s)H(s)位于s平面虚轴上的极点数。三、频率域稳定判据（8）jse90,90njjnsje90,90nj124、G(s)H(s)闭合曲线的绘制1）若G(s)H(s)无虚轴上极点在时，对应开环幅相曲线；在时，对应原（时）或点（时），为系统开环根轨迹增益。2）若G(s)H(s)有虚轴极点。当开环系统含有积分环节时，设在原点附近，闭合曲线Γ为，且有三、频率域稳定判据（8）GH,0,sjGH,0,90jsenm(,0)KjnmK111()()()(0,(0))GsHsGsGjs1(0),(0)(0)(0)(90)(0)AGjHjGj,0,90jse11()(0)jGeGj13故对应的曲线为从点起，半径为、圆心角为的圆弧，即可从点起时针作半径无穷大、圆心角为的圆弧，如图5-31(a)中虚线所示。当开环系统含有等幅振荡环节时，设三、频率域稳定判据（9）)111(()()()()jjjjGejGjeseGsHsee1(0)Gj()(0)(0)GjHj901111221()()()(0,())()nnGsHsGsGjs111(90)11221()()()()(2)(2)jjnnjjnneGsHsGjeGjjee14上述分析表明，半闭合曲线由开环幅相曲线和根据开环虚轴极点所补作的无穷大半径的虚线圆弧两部分组成。三、频率域稳定判据（10）GH155闭合曲线包围原点圈数R的计算根据半闭合曲线可获得包围原点的圈数R。设N为穿越点左侧负实轴的次数，表示正穿越的次数和（从上向下穿越），表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则在图中，虚线为按系统型次或等幅振荡环节数补作的圆弧，点A，B为奈氏曲线与负实轴的交点，按穿越负实轴上段的方向，分别有：（图a）三、频率域稳定判据（11）FGHF(1,0)jGHNN22()RNNN1(,1)1,0,22NNRN16（图b）（图c）（图d）（图e）三、频率域稳定判据（12）0,0NNR1,0NNR11,,12NNR3,0,32NNR175-3-2奈奎斯特稳定判据奈氏判据反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线不穿过点且逆时针包围临界点点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P。由幅角原理可知，闭合曲线Γ包围函数的零点数即反馈控制系统正实部极点数为当时，，系统闭环不稳定。当半闭合曲线穿过点时，系统可能临界稳定。三、频率域稳定判据（13）(1,0)jGH(1,0)j()1()()FsGsHs2ZPRPNPR0ZGH(1,0)j18例5－8已知单位反馈系统开环幅相曲线如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围。解:如图所示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为，三、频率域稳定判据（14）(10,0,1)KP123,,19系统开环传函由题设条件知，和当取时若令，可得对应的K值三、频率域稳定判据（15）1()()KGsGss101,lim()1sGs1()();1,2,3iiiKGjGjij10K123()2,()1.5,()0.5GjGjGj()1iGj1231111205,,20123()10iKKKGjj20对应地，分别取和时，开环幅相曲线分别如图所示，图中按补作虚圆弧得半闭合曲线。三、频率域稳定判据（16）03KKG21根据曲线计算包围次数，并判断系统闭环稳定性：闭环系统稳定；闭环系统不稳定；闭环系统稳定；闭环系统不稳定。综上可得,系统闭环稳定时的K值范围为和。当K等于和20时，穿过临界点，且在这三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临界稳定。三、频率域稳定判据（17）G0,0,0,KKRZ,2,2,KRZ23,1,0,0KKKNNRz3,1,2,2,2KKNNRz(0,5)20/3,205,20/3(1,0)jG22例：系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。解：系统开环传递函数在s的右半平面上没有任何极点,即P=0。当由变化时,曲线如左图所示。由图可知R=0，所以Z=P-R=0。这表示对于任意正值K、T1和T2，该闭环系统总是稳定的。三、频率域稳定判据（18）2121,)1)(1()()(TTsTsTKsHsG00KReIm23例已知单位反馈系统的开环传递函数为试用奈氏判据确定使该闭环系统稳定的K值范围。解：开环系统频率特性为当时，，即奈氏曲线与负实轴相交于点。三、频率域稳定判据（19）0,0;1)(KTTsKsG2211)(TjKTKjTKjG00180)(KKjG)0,(jK24系统开环系统幅频和相频特性的表达式分别为和惯性环节一样，其奈氏图是一个圆，如下图所示。由于系统的P=1，当由变化时,曲线如按逆时针方向围绕(-1,j0)点旋转一周，即R=1，则Z=P-R＝0，表示闭环系统是稳定的。显然，系统稳定时T0且K1。三、频率域稳定判据（21）22()1KGjTTarctan180)(0)(jG-K00ImRe25例某反馈控制系统的开环传递函数为其中K0,T0。试判别该闭环系统的稳定性。三、频率域稳定判据（22）)1()()(TssKsHsGImRe00026解：由于该系统为Ⅰ型系统，它在坐标原点处有一个开环极点。该图逆时针围绕原点的半径为的半圆，在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的半圆,它与奈氏曲线相连接后的闭合曲线如上张图所示。由图可见，R＝0,而开环系统P＝0,因而Z＝0，即闭环系统是稳定的。三、频率域稳定判据（23）)()(jHjG27例已知系统的开环传递函数为试用奈氏稳定判据判别该闭环系统的稳定性。解：由于开环传递函数在坐标原点处有重极点，由上述的讨论可知，逆时针围绕原点的半径为的半圆在GH平面上的映射曲线为一半径无穷大的圆，它与奈氏曲线相连接后的闭合曲线如下张图所示。三、频率域稳定判据（25）0,0,)1()()(2TKTssKsHsG)()(jHjG28由图可见，不论K值的大小如何，奈氏曲线总是以顺时针方向围绕点（-1，j0）旋转两周，即R＝-2。由于开环系统P＝0，所以Z＝2，表示该闭环系统总是不稳定的,且其在s的右半平面上有2个极点。奈氏图三、频率域稳定判据（26）000-1ImRe29例已知系统的开环传递函数为试分析时系统的稳定性，并画出它们所对应的奈氏图。解：系统开环频率特性为三、频率域稳定判据（27）TT和00222arctanarctan180)()(1)(1)()(TTKjHjG)1()1()()(2TsssKsHsG30作出在二种情况下的曲线，如下图所示。三、频率域稳定判据（28）TT和Re0000-1Im（a）T（b）T0ReIm00-1031由于P＝0，当时，曲线不包围点（-1，j0），因而闭环系统是稳定的；当时，曲线以顺时针方向包围点（-1，j0）旋转二周，这意味着有两个闭环极点位于s的右半平面上，该闭环系统不稳定。三、频率域稳定判据（29）.T)()(jHjG.T