二重积分

第六章多元函数积分学一.积分概念微积分的巨大贡献是,可以通过对量的分割达成量的准确表达,这要归功于实数的连续性,归功于无穷小量的描述,归功于极限概念的给定.问题的由来:•非均匀(非线性)的整体量F与什么样的实数相对应才最合理?设F是[a,b]区间上非均匀(非线性)的整体量•我们最终认为这样的做法最为合理：1）通过对[a,b]的分割实现对整体量的分割2）将割出的部分量∆F用相应的部分区间∆x的线性量近似表示3）然后将这种分割无限细化，使分割量的累加无限趋近整体量F如果F是多维空间区域(Ω)上的非均匀(非线性)整体量•我们亦可认为这样的做法很合理：1）通过对(Ω)的分割实现对整体量的分割2）将割出的部分量∆F用相应的部分区域∆Ω的线性量近似表示,即∆F=A·∆Ω3）然后将这种分割无限细化，使分割量的累加无限趋近整体量F问题的关键归结为对系数A的合理给定，由于∆Ω遍布(Ω)，A应当是一个随∆Ω的位置变化而变化的量定义：上的连续累加。在可理解为积分运算微分量）称为积分表达式（称为积分区域，称为被积函数，上的积分，在称为记上可积，在则称若设相应有数值中各任取一点再在每个每份大小度量为，份分成如果任意地将设)()()()()()(,)()(,)(lim},,,3,2,1),(max{),(,)(,,3,2,1,,,3,2,1),()(,)(,)(:)()(10dMfdMfdMfffdMfAfAMfnkddMfMnknknRRfnkkkdkkkkkkn积分性质：)()(P)()()()()5)()()()(),(,)()()4)()(),()()(,)()()()3)()()]()([)2)()()1)()()()()(2121)()()()()()()()(21PfdMfMfdMfdMfdMgdMfMMgMfdMfdMfdMfdMgdMfdMgMfdMfkdMkf，使得上存在一点则在有界、连通、闭集，上连续，在若则若二.二重积分xyzoz=f(x,y)曲顶柱体的体积yx平面薄板的质量定义:),(yxf设将区域任意分成n个小区域任取一点若可积,),(yxf则称)(d),(yxf),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域上的有界函数,)()()(d),(yxfxyzoab1()xxy2()xxy(,)fxyyxyoab1()xxy2()xxyyz二重积分的计算——累(二)次积分法)d),(()()(21xyxfyxyxbayd)(d),(yxfVxyoab1()xxy2()xxyyzabxyozx)(2xyy)(1xyyxyxfyxyxd),()()(21bayd)(d),(yxfV)(d),(yxfVyyxfxyxyd),()()(21baxd当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负)(1)(dd),(dd),(yxyxfyxyxf在(σ)上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于)(2dd),(yxyxfDyx)()(),(d),(dxdyyxfyxfV曲顶柱体体积:平面薄板的质量:如果在(σ)上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作)(dd),(yxyxf这时分区域(σ),因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作)()(),(d),(dxdyyxyxV利用直角坐标计算二重积分:在D上可积时,),(yxf当被积函数)()(,|),()()(:2121xyyxybxayxDbxaxyyxyD或Dyxyxfdd),(yyxfxyxyd),()()(21baxd若D为X–型区域则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y–型区域dycyxxyxyxDdycyxxyxD),()(|),()()(:2121或y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyxyxd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则D说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分次序,必要时还可以交换积分次序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcydxyoz(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,321DDDD则D3D2D1D(3)平面区域D的面积：DDdsdsS1xy211xyo221dy例.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y机动目录上页下页返回结束例.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束例.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动目录上页下页返回结束例.求积分dycbxayxyfxfI,|,:)(,d)()()(xyoz)(xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k),,2,1(nkk在k),,(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线=常数,分划区域(σ)为krkrkkkr机动目录上页下页返回结束kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10)(d),(yxfddrr即)()sin,cos(rrfdrrddrd机动目录上页下页返回结束)(),(dydxyxf)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(dDo)(1r)(2r1rrDo)(1r)(2r2rr)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:2121rrrD则Drrrrfdd)sin,cos(21drrrrr特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(例.计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2aeddrr20d故机动目录上页下页返回结束例.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:)(ardd44)(22rrraVcos2022d4arrra)322(3323aoxyza2机动目录上页下页返回结束例.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022机动目录上页下页返回结束)()(10),(d),(),(limdxdyyxfyxffInkkkkd注.二重积分符号辨识：)(dd),(yxyxfyyxfxyxyd),()()(21baxdxyxfyxyxd),()()(21dcyd)(dd),(yxyxfbaxyxydydxyxf),()()(21dcyxyxdxdyyxf),()()(21)(d),(yxfddrr)()sin,cos(rrf)()(21d)sin,cos(rrrrfd)()(21d)sin,cos(rrrrf21drrrrxyoD注.设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动目录上页下页返回结束baxxfd)())((txtttfd)()]([定积分换元法*三、二重积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动目录上页下页返回结束vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(例如,直角坐标转化为极坐标时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)si