二重积分的坐标变换

首页上页返回下页结束二重积分的变量代换极坐标变换一般变量代换广义极坐标变换首页上页返回下页结束AoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21),(iiiiirorrDdxdyyxf),(一、利用极坐标系计算二重积分rdrddDrdrdrrf)sin,cos(极坐标下的面积元素drrddrd首页上页返回下页结束.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：sincos.1ryrx坐标变换：rdrddxdyd微元变换：.2rxyDD区域变换：.3极坐标变换的适用情形:积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如)(22yxf首页上页返回下页结束.)sin,cos()()(21rdrrrfdADo)(1r)(2rDrdrdrrf)sin,cos(二重积分化为二次积分的公式:θ-型区域(1)区域特征如图,).()(21r1.原点在区域的外面首页上页返回下页结束(2)区域特征如图,).()(21r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(2r)(1r首页上页返回下页结束AoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd区域特征如图,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(2.原点在区域的边界上首页上页返回下页结束Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd区域特征如图).(0rDoA)(r,203.原点在区域的内部首页上页返回下页结束若f≡1则可求得D的面积d)(21202Dd思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(首页上页返回下页结束区域特征如图,21rrr).()(21rr.)sin,cos()()(2121rrrrdrrfrdrDrdrdrrf)sin,cos(o二重积分化为二次积分的公式:r-型区域A)(1r)(2r1r2r1r2rD首页上页返回下页结束例1写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下sincosryrx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd首页上页返回下页结束例2计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：ar0，20dxdyeDyx22arrdred0202).1(2aeayx首页上页返回下页结束例3求广义积分02dxex.解}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe002220)(2Rxdxe首页上页返回下页结束1I122DyxdxdyeRrrdred0022)1(42Re2I222Dyxdxdye);1(422Re由上题结论,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee当R时,,41I,42I故当R时,202dxex即4)(202dxex首页上页返回下页结束例4计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解3261sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203yx03xy首页上页返回下页结束例5计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：被积函数也要有对称性.Ddxdyyxyx2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx210sin42rdrrrd.414DD1D首页上页返回下页结束例6求曲线)(2)(222222yxayx和222ayx所围成的图形的面积.解根据对称性有14DD在极坐标系下)(2)(222222yxayx,2cos2ar,222arayx1D首页上页返回下页结束由arar2cos2,得交点)6,(aA,所求面积Ddxdy14Ddxdy2cos2064aardrd).33(2a首页上页返回下页结束二、二重积分的换元法.sin,cosryrx间的关系为坐标与极坐标之平面上同一个点，直角的一种变换，坐标平面到直角标平面上式可看成是从直角坐xoyro换是一对一的．，且这种变平面上的一点成，通过上式变换，变面上的一点平即对于),(),(yxMxoyrMro首页上页返回下页结束.),()],(),,([),(:)3(;0),(),(),()2(),(),,()1(),(),,(:),(DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在且满足，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理证明见本课件末,不做要求.首页上页返回下页结束例7解所围成的闭区域．线轴和直轴、由其中计算2,yxyxDdxdyeDxyxy,,xyvxyu令.2,2uvyuvx则,DDDxyo2yxDuvovuvu2v.22;0;0vyxvuyvux即首页上页返回下页结束),(),(vuyxJ,2121212121DvuDxyxydudvedxdye21故vvvuduedv2021201)(21vdvee.1ee首页上页返回下页结束例8解所围成的闭区域．椭圆为其中计算1,122222222byaxDdxdybyaxD.20,0,0,0rba其中,sin,cosbryarx作广义极坐标变换},20,10),{(rrDD在这变换下首页上页返回下页结束.),(),(abrryxJ故换元公式仍成立，处为零，内仅当在0rDJdrdabrrdxdybyaxDD2222211.32ab首页上页返回下页结束1.二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）三、小结Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21rdrrrfd.)sin,cos()(0rdrrrfd.)sin,cos()(020rdrrrfd首页上页返回下页结束的形式．同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域．作什么变换主要取决),(2yxfD基本要求:变换后定限简便，求积容易．.),(),(1),(),(.3yxvuvuyxJ首页上页返回下页结束交换积分次序:).0(),(cos022adrrfdIa思考题首页上页返回下页结束,cos022:arDoxy思考题解答cosarDaararccosararccos.),(arccosarccos0araradrfdrI首页上页返回下页结束计算deyxyyxD2)(，其中D：1yx，0x和0y所围成.思考题首页上页返回下页结束令yvyxu,vyvux雅可比行列式1),(),(vuyxJ,变换后区域为思考题解答oxy1yxDouvvuD首页上页返回下页结束deyxyyxD2)(DdudvJvuf||),(dveuvduuu2010dueuu2102).1(41eD：1yx1u0x0vu0y0v首页上页返回下页结束一、填空题:1、将Ddxdyyxf),(,D为xyx222,表示为极坐标形式的二次积分,为_____________________.2、将Ddxdyyxf),(,D为xy10,10x,表示为极坐标形式的二次积分为______________.3、将xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二次积分为______________________.4、将2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分为______________________.练习题首页上页返回下页结束5、将xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积分为_______________,其值为_______________.二、计算下列二重积分:1、Ddyx)1ln(22,其中D是由圆周122yx及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.2、Ddyx)(22其中D是由直线xy,)0(3,,aayayaxy所围成的区域.3、DdyxR222,其中D是由圆周Rxyx22所围成的区域.4、Ddyx222,其中D:322yx.首页上页返回下页结束三、试将对极坐标的二次积分cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序.四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线2r上一段弧(20)与直线2所围成,它的面密度为22),(yxyx,求这薄片的质量.五、计算以xoy面上的圆周axyx22围成的闭区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积.首页上页返回下页结束一、1、rdrrrfdcos2022)sin,cos(；2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3、sec2034)(rdrrfd；4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5、2cossin0401rdrrd,12.二、1、)12ln2(4；2、414a；练习题答案首页上页返回下页结束3、)34(33R；4、25.三、4420)sin,cos(drrfrdrIaararaadrrfrdr2arccos2arccos2