二重积分的概念及计算

4251300110010101011010001010010111第10章重积分§10.1二重积分一、引例二、二重积分的定义及可积性三、二重积分的性质四、曲顶柱体体积的计算五、利用直角坐标计算二重积分六、利用极坐标计算二重积分七、二重积分换元法Page2解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”DPage3D1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kkPage44)“取极限”1212()maxkkPPP,P令1max()kkn01lim(,)nkkkkVf),(kkfk),(kkPage52.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则M若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小区域.DyxPage62)“常代变”中任取一点k在每个),,(kk3)“近似和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量yxPage7两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:Page8二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,Page9DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(Page10二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,yxyxyxf22),(在D:10x10y上二重积分存在;yxyxf1),(但在D上y1xo1D二重积分不存在.Page11三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxfDDdd1为D的面积,则Dyxfkd),(Page12特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设D的面积为,MyxfmDd),(则有Page137.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD证:由性质6可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点Dyxffd),(1),(在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此Page14例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而域D位,1yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1DPage15例2.判断积分的正负号.解:分积分域为,,,321DDD则原式=12231ddDxyxy22231ddDxyxy1ddDxy32(43)23D32D11Dyxo3(12)0猜想结果为负但不好估计.舍去此项Page16220yx0)ln(22yx例3.判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：1yx当时，故0)ln(22yx又当时，1yx于是2)(yx10dd)ln(122yxyxyx1111xyoDPage17例4.估计下列积分之值22ddI:10100coscosDxyDxyxy解:D的面积为50()4200三角形面积由于221100coscosxy积分性质5200200I102100即:1.96I210101010D11001102xyoPage185.04.0I例5.估计的值,其中D为DxyyxI162d22.20,10yx解:被积函数16)(1),(2yxyxf2D的面积41)0,0(fM的最大值),(yxfD上在51431)2,1(22fm),(yxf的最小值,4252I故yox2D1Page19xyoD8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0Page20xbad][四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd),(截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0xDPage21ydcxo)(2yx)(1yxyydcd][dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21Page22例6.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022Page23内容小结1.二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法Page24被积函数相同,且非负,思考与练习yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解:321,,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:Page252.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因0y1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1DPage263.计算解:)cos(yx0220yd20d]cos[sinyyyyysincos202Page274.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有222212(sincos)d(sincos)dDDxyyx212222(sin)d(sin)dcoscosDDxxyy22(sincos)dDxx又D的面积为1,故结论成立.yox1D1Page28五、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,(,)0fxy当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y–型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyd则Page29当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于Page30oxy说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则Page31xy211xyo221dy例7.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxyyxd21dx2121321dxxx891221xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxyxd21dyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21yPage32例8.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则Page33例9.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.Page34例10.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822yx2D22yxo21D221xy222280:22xxyD21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dyPage35例11.计算其中D由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyx