有限元方法课件 第一章 绪论

有限元方法授课教师燕乐纬2012年7月27日教师简介燕乐纬，甘肃酒泉人1996.9-2000.6，重庆大学工程力学系，获学士学位2000.6-2003.9，中国工程物理研究院工作2003.9-2006.6，重庆大学工程力学系，获硕士学位2006.7-2007.7，信息产业部电子第五研究所工作2007.9-2010.6，中山大学应用力学与工程系，获博士学位2009.4-2009.10，香港大学，访问学者2010.6至今，广州大学，讲师研究方向：现代优化算法研究及其工程应用掌握有限元法本课程的目的和要求：1、掌握有限元法基本原理具体有两方面要求：2、掌握一到两个通用有限元软件课程简介《有限单元法基本原理和数值方法》王勖成、邵敏编著清华大学出版社参考书目：《有限单元法基础（第2版）》王焕定、焦兆平编著高等教育出版社《结构力学（第4版）上册》李廉锟编著高等教育出版社第Ⅰ部分理论基础第一章绪论§1–1已学各力学课程的关系§1–2弹性力学的基本变量和方程§1–3弹性力学问题的一般解法§1–4有限单元法的概念§1–5有限单元法的特点§1–6有限单元法的发展概况§1–7本课程的主要内容第一章绪论一.已学各力学课程的关系理论力学研究宏观物体机械运动一般规律。包括静力学、动力学和运动学三部分研究杆状弹性构件的强度、刚度和稳定问题。材料力学研究由杆状弹性构件组成的结构体系的强度、刚度和稳定问题。结构力学研究任意形状弹性体的强度、刚度和稳定问题。弹性力学IMy（细长杆）平截面假定材力解答：弹力解答：精确解，没有假设。)534(22hyhyqIMyqq材力解答：q弹力可校核材力公式的可靠性、精度及适用范围。qq弹力解答：q3q二.弹性力学中的基本变量和方程三大类变量三大类方程弹性力的研究对象：任意形状弹性体xyoXYSu()S()Y,Xu,vv,u弹力中的问题通常是：已知物体几何尺寸、弹性常数、所受体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。为了由已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的关系，以及各个未知量之间的关系，从而导出一套求解方程。具体可从三方面进行分析：静力学、几何学、物理学1.弹性力学基本变量位移：Twvud应变：Txyzxyzzyx应力：Txyzxyzzyx2.弹性力学基本方程平衡方程：000ZzyxYzyxXzyxzzyzxyzyyxxzxyx几何方程：zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx物理方程：D)1(2)21(00000)1(2)21(0000)1(2)21(000111111)21)(1()1(ED弹性矩阵边界条件和初始条件：nmlZnmlYnmlXzyzxzzyyxyzxyxx应力边条：wwvvuu,,位移边条：三大类变量三大类方程独立变量的数目：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量独立方程的数目：3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程由于上述变量和方程都是针对从任意变形体中取出的微元体建立的，所以对于不同的研究对象，其基本变量和基本方程是完全相同的，不同之处在于边界条件（几何形状），所以求解的难度在于如何处理边界条件。外加两类边界条件由于存在刚体位移，由位移可以唯一确定应变，而由应变不能够唯一确定位移，所以还必须加上边界条件，才可分析实际问题。三.弹性力学问题一般解法弹性体中应力、应变和位移都是位置的函数，求解弹力问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程及定解条件（边条）都是偏微分方程组，求解弹性力学问题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上称为微分方程的边值问题。有三类解法：解析法、数值法和半解析法。差分法变分法、加权余量法有限单元法根据求解变量的不同可分为应力法、位移法、混合法1.解析法直接求解偏微分方程2.数值法将微分方程转化为代数方程求得近似解3.半解析法介于解析法和数值法之间，适用于一些特殊问题的求解四.有限单元法的概念有限元方法是把具有无限自由度的连续求解域离散为一组由有限个单元组成的集合体；二维连续体不同单元的离散三维问题的离散有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为一组由有限个单元组成的集合体；用在每一个单元内假设的近似函数（即形函数）来表示全求解域上的待求未知函数；uivixyijmumvm(x,y)v(x,y)u(x,y)vjuj单元内的近似函数由单元结点的数值及其插值函数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为一组由有限个单元的集合体；用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域上的待求未知函数；其理论基础是变分原理或加权余量法五.有限元法的特点1.有很强的适用性，应用范围极广。分析对象：可以是由杆、板、壳、块等多种力学性质不同的构件组成的复杂系统，多种连续物理场无论材料、荷载、边条多么复杂，有限元法均可有效地加以处理分析类型：可以是静力问题也可以是动力问题；可以是弹性问题，也可以是弹塑性、粘弹塑性问题；可以是线性问题，也可以是非线性问题；可以是确定的，也可以是随机的；可以是单一物理场，也可以是固、流耦合或热、固耦合的多物理场。飞机研究的主要地面实验设备－风洞载驳船在弯扭联合作用下的结构应力－变形有限元分析2.建立于严格理论基础之上，概念浅显，易于理解和掌握有限元法以变分原理或加权余量法为理论基础，采用的是分片插值的思想，对于不同类型的问题，理论推导过程以及计算步骤均高度规范和统一规范化的理论推导过程和高度统一的求解步骤，为编制大型通用有限元软件奠定了基础计算机软硬件的飞速发展为有限元法的发展应用奠定了物质基础3.便于编制计算机程序采用矩阵表达形式，易于计算机运算六.有限元法发展概况▲1943Courant从应用数学角度的，尝试用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合求解St.Venant扭转问题。▲1956Turner、Clough等将刚架位移法推广到弹性力学平面问题，用三角形单元求得平面应力问题的正确解答。▲1960Clough进一步处理了弹性力学问题，并第一次提出了“有限单元法”（Thefiniteelementmethod）的名称，使人们开始人生到了有限单元法的功效。▲1963-1964Besseling、Melosh等人证明了有限元法是基于变分原理的Ritz法的另一种形式，从而确认有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法，并为有限元法找到了理论基础。▲60年代后期开始进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元方程▲70年代以来，随着计算机技术的发展，有限元法的理论和应用研究也随之空前活跃起来：研究的内容涉及有限元法的数学力学理论基础；单元划分原则；形状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；有限元软件开发技术；向非结构领域的推广等七.本课程主要内容▲变形体虚位移原理▲杆系结构的有限单元法（矩阵位移法）概述▲平面问题的有限单元法本章内容结束