高数大一上期末复习资料经管类

1期末复习题极限有关的题型1.求极限（1）])1(1431321211[limnnn（2）)2121211(lim12nn（3）)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn（1x）（4）232lim222xxxxx（5）hxhxh220)(lim（6）xxx11lim0（7）321lim1xxx（8）)0(limaaxaxax（9）)e1)(1sin2(limxxx（10）23232sin1lim271xxxxxx（11）11lim1mnxxx（12）1lim21xnxxxnx（13）xxx1sin)1(lim（14）nnnx2tan2lim（15）xxxarctanlim0（16）nnnn)111(lim2（17）7lim()7xxxx（18）123lim()21xxxx（19）1/0lim(cos)xxx（20）nnnn312lim（21）若8)2(limxxaxax，求常数a；（22）2212limsin31xxxx（23）极限)1ln()1(1sin1lim0xexxxx（24）当0x时，123(1)1ax与cos1x是等价无穷小，则常数a.（25）设0x时，xxeesin与nx同阶无穷小，则n为。（26）mnxxx)(sin)sin(lim0（27）xxxx30sinsintanlim（28）)cos1(cos11lim30xxexx（29）)tan1ln()1()1arctan21)((sinlim2302xexxxxx（30）xxxxxx20sin1sin1tan1lim（31）若极限0lim()xfx存在，且201()tan1lim31xxfxxe，求0lim()xfx。（32）已知0)](1[lim2baxxxx，试求常数a、b的值.补充竞赛题（第三部分有关极限）23.xxxxxxsin114lim22；解：2222111114141limlim1sinsin11xxxxxxxxxIxxxxx.4.1223lim422xxxxx解：2441311lim2122xxxIxx5.xxxxxeeee32lim22解:311lim232xxxeIe15.nnnnncba)3(lim)0,0,0(cba解：111lim33lim(1)3nnnnabcnnnnnnabcIe1[lim(1)lim(1)lim(1)]33nnnnnnnanbnceabc.17.xxx2tan1)2(lim________.解：原式=Ltan2111sin122lim1(1),lim(1)limcoscos22xxxxxxxxxx.原式=2e.18.xxx)(coslim0.解：001(cos1)lim(cos1)lim2cos120lim(1cos1)xxxxxxxxxxIxeee.19.21coslimnnn_______.解：原式=211cos1limnnn，2121lim)11(coslim222nnnnnn，结果为21e.320.nnnnnnnlnlnlnlim_______.解：原式=lnlnlnlim1,lnnnnnnnnnn2ln2limlim2lnlnln1nnnnnnnnn，原式=2e.21.21sinlimnnnn________.原式=2123011sin1lim1sin1,limsin1lim6tnnnntttnnnnnt，所以为61e.23.求11112limnxxxxnxaaan.解：原式=11112lim1nxxxxnxaaann,令1,tx由重要极限得1212111111limlim12lim1ttttttnnxxnxaaaaaanxxxnttxaaaneen12ln12naaaneaaa.27.)sin1ln(lim3sin0xeexxx.解：sinsinsin33000(1)sin1=limlimlim6xxxxxxxeexxIexx.34.求极限)(lim11cos2eexxx.解：原式=11cos21222111111lim(1)lim1coslim22xxxxxeexxexexe.35.求极限)33(lim1112xxxx.解：111111111221111231lim(33)lim3(31)lim3limln31xxxxxxxxxxxxxxx.436.求极限limtansin()22xxx.解：sin()2limtansin()limsinlim222sin()22xxxxxxxx.37.求极限])1[(limennnnn.解：原式11ln1ln111ln111lim[]limlimlim[ln(1)1]112nnnnnnnnnneeeeneeeennnnn.函数的连续性与间断点1．填空题（1）函数21)(22xxxxf的可去间断点为x.（2）)1(2cos2xxxy的间断点是，间断点类型：（3）xxytan的间断点是，间断点类型：2．找出函数xxxf1211)(的间断点，并且说明它属于哪一类间断点．3．设函数)1)((e)(xaxbxfx，求ba,的值，使得0x为)(xf的无穷间断点，1x为)(xf的可去间断点．4.判断01)1ln(0,)(11xxxexfx的间断点，并说明其类型。连续函数的运算与初等函数的连续性1.填空题（1）函数21sin0()0xxfxxaxx要使()fx在(,)连续，a；（2）设0,cos0,sin)(xxaxxxxf在0x处连续，则常数a；5（3）设1,1,11sinxeaxxxxfx在1x处连续，则常数a；（4）设221sin0()sin0xxxfxxbxx，要使)(xf在0x点连续，则b；（5）函数0,2sincos20,)(xxxxaexfx在（-1，1）上连续，则a；2.函数1,41,313)(xxxxbaxxf在点1x连续，求常数ba,。闭区间上连续函数的性质1.证明方程2exx在区间)2,0(内至少有一个实根．2.证明方程)0,0(sinbabxax至少有一个不超过ba的正根．3.若函数)(xf在闭区间]2,0[a上连续，且)2()0(aff，证明在闭区间],0[a上至少有一点使)()(aff．4.若)(xf在闭区间],[ba上连续，且bdca，对任何正数nm,．证明在闭区间],[ba上内至少有一点使)()()()(fnmdnfcmf．5．若函数)(xf在闭区间],[ba上连续，且bxxxan21，证明在闭区间],[1nxx上至少有一点，使得nxfxfxffn)()()()(21．第二章导数与微分第一节导数的概念1.填空题（1）()fx在xa处可导，且()lim2xafxxa，则()fa,()fa；（2）设0)('xf存在，且当0x时，)()(00xfxxf与xA是等价无穷小，则常数A；（3）若)(0xf存在，则hhxfhxfh)()3(lim000；6（4）已知)(0xf存在，则))1()1((lim00nxfnxfnn=；（5）设0'()fx存在，则000()(2)limarcsinhfxhfxhh=；（6）设函数)(xf可导且12)1()1(lim0xxffx,则曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线斜率是；（7）已知函数)(xf在0x的某领域处有定义，在0x处可导，0)0(f，则极限)2012sin(10)]()2012(1[limxxxfxf；（8）设2)65()(22xxxxxf，则)(xf在点x处不可导。2.设11)(2xbaxxxxf在1x可导，求常数,ab的值.3.讨论10110)1ln()(2xxxxxxf在0x的可导性。第二节函数的求导法则1.填空题（1）设)2)(()2)(1()(nnxxxxxf，则)0(f______（2）设)(2)(xfxeefy，其中f可导，则dxdy（3）已知函数)(xf在3x处可导且1)3(f，则曲线)12(xfy在其上一点)3,1(处的切线方程为（4）已知1)1(xxxy，则y2.计算下列各题的导数（1）()lntancoslntan2xfxxx；（2）)arcsin(cos)(xxf；（3）xxxf1)(；3.设()gx连续，且2()()()fxxagx，求()fa第三节高阶导数1.求xxxflncos)(2的二阶导数.2.设)](sin[2xfy，其中f具有二阶导数，求22dxyd；3.已知)1ln(2xxy，求)5(y。4．设32xyxe，求(10)y7第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率1.填空题（1）曲线26exyeyx在0x处的切线方程为；（2）曲线1ln2yyx在点（1，1）处的切线方程为，法线方程为；（3）曲线tteyex2在0t对应点处的切线方程是；2.设()yyx由方程03xyeyx所确定，求(0)y3.设)(xyy由方程eexyy所确定，求)0(y；4.求曲线,sin,cos33taytax在4t相应点处的切线方程.5.设)(xyy由)1()(3tefytfx所确定，其中)(xf有二阶导，求0tdxdy，22dxyd；6．设参数方程2ln(1)arctanxtytt确定函数)(xyy，求22dydx第五节函数的微分1.填空题（1）已知xysinln，则dy，dy；（2）函数arcsinsin(tan)yxxx，则dy；（3）2sin(2)xxde；（4）若函数)(xf可微，则极限0limxydyx=；（5）设函数()yyx由方程cos()0xyexy确定，则0xdy。2.设xxxeexeyarctan)1ln(212，求dy.3．已知22sec211lncos+arctan211xxxxyex求dy。第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理1.证明（1）设()fx在[0,]上连续，在(0,)可导，证明：(0,)，使得'()sin()cos0ff。8（2）设)(xf在],[ba连续