解直角三角形及其应用

第三单元解直角三角形第37讲解直角三角形及其应用内容索引备考基础温故知新，明确考向重点突破分类讲练，以例求法易错防范辨析错因，提升考能备考基础返回考点梳理解直角三角形1.直角三角形中的边角关系：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则：(1)三边的关系：a2＋b2＝c2.(2)角的关系：∠A＋∠B＝90°.(3)边角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝.2.解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．acbcab特别提醒在直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B，∠C，a，b，c中，除∠C＝90°外，其余5个元素，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知数.在解直角三角形实际应用中的常用知识1.仰角与俯角：从下向上观察物体时，视线与水平线所成的角叫做仰角；从上向下观察物体时，视线与水平线所成的角叫做俯角．2.坡度与坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)，用字母i表示，即i＝，坡度一般写成1∶m的形式．hl3.方向角：在平面上，过观测点O作一条水平线(向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则从O点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角．如图，OA，OB，OC，OD的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°(东南方向)，南偏西80°，北偏西60°.特别提醒解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度量工作、工程建筑、测量距离等.解这类问题的一般步骤是：(1)弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；(2)将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；(3)寻求基础直角三角形，并解这个三角形，或设未知数进行求解.基础诊断1.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米C30tanα2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是()A.100mB.100mC.150mD.50mA333解∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3，∴BCAC＝33，∵BC＝50，∴AC＝503，∴AB＝AC2＋CB2＝100(m)．3.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4kmB.2kmC.2kmD.(＋1)km332C解如图，过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中，∵∠AOD＝30°，OA＝4，∴AD＝OA＝2.在Rt△ADB中，∵∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，∴BD＝AD＝2，∴AB＝AD＝2(km)．22124.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了______米．10005.如图，小明在窗台C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知窗台C处离地面的距离CD为5m，则大树的高度为________m．(结果保留根号)53＋5解如图，作CE⊥AB于E，∵CD＝5，∴BE＝CD＝5，在Rt△CBE中，∵tan∠ECB＝tan30°＝BECE，∴CE＝BEtan30°＝533＝53，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝53，∴AB＝AE＋BE＝(53＋5)m.返回重点突破返回类型一解直角三角形点拨根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，解直角三角形即可求解．【例1】(2017·益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.hsinαB.hcosαC.htanαD.h·cosα答案点拨解解∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD＝α，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝CDBC，∴BC＝CDcos∠BCD＝hcosα.类型一解直角三角形点拨根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，解直角三角形即可求解．【例1】(2017·益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.hsinαB.hcosαC.htanαD.h·cosαB答案点拨解【变式1】(2017·兰州)如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()答案解A.513B.1213C.512D.1312解如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝130，BC＝50，∴AC＝AB2－BC2＝1302－502＝120，∴tan∠BAC＝BCAC＝50120＝512.【变式1】(2017·兰州)如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()答案解A.513B.1213C.512D.1312C解题要领解直角三角形可用两锐角之间的关系、三边之间的关系、边角之间的关系(锐角三角函数的定义).解题时，还常常用到“同(等)角的余角相等”，及面积关系S＝ab＝ch等结论，是对以前所学的有关三角形知识的“大汇总”.1212类型二利用解直角三角形测量物体高度(或宽度)【例2】(2017·潍坊)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：≈1.73)解点拨3点拨设每层楼高为x米，在Rt△DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′－C′A′求出AB的长即可求解．解设每层楼高为x米，由题意得：MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1，∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1，∵在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝DC′tan60°＝33(5x＋1)，∵在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝EC′tan30°＝3(4x＋1)，∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴3(4x＋1)－33(5x＋1)＝14，解得：x≈3.17，则居民楼高度为：5×3.17＋2.5≈18.4(米)．【变式2】(2017·义乌)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数．解过点C作CE⊥BD，由题意得：∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.解(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)解由题意得：CE＝AB＝30，在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°≈10.80，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°≈9.60，∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.80＋9.60≈20.4(m)，即教学楼的高约为20.4m.解解题要领弄清题中名词术语的含意，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，寻求或构造基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解.类型三利用解直角三角形解决航海问题【例3】(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.732，结果取整数)解答点拨3点拨过A，C各作一条水平线，过B作一条铅垂线，构造直角三角形，再根据勾股定理、三角函数及“路程÷时间＝速度”求解即可．解作辅助线如图所示，BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，由题意知，∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝20，∴BD＝10，∴在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝103≈17.32，∵在Rt△BCE中，sin37°＝CEBC，∴CE＝BC·sin37°≈10×0.6＝6，∵cos37°＝BEBC，∴BE＝BC·cos37°≈10×0.8＝8，∵EF＝AD＝17.32，∴FC＝EF－CE＝17.32－6＝11.32，AF＝ED＝BE＋BD＝8＋10＝18，∴在Rt△AFC中，AC＝AF2＋FC2＝182＋11.322≈21.26，∴航行速度＝21.26÷2060≈64(海里/小时)．答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时．【变式3】(2017·天水)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．(结果保留根号)解答解作PC⊥AB的延长线于点C，由题意可知，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20，在Rt△PBC中，则PC＝x，则BC＝x，∴AC＝AB＋BC＝20＋x，在Rt△PAC中，∵∠APC＝60°，∴tan∠APC＝tan60°＝ACPC＝20＋xx＝3，解得：x＝10＋103.答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离为(10＋103)海里．解题要领这类问题实质上是求三角形中未知的边与角，应从实际问题中抽象出数学模型——直角三角形，再求解.类型四利用解直角三角形解决坡度问题【例4】(2017·黔东南)如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)解答点拨235点拨假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，作辅助线，根据锐角三角函数的定义求解即可．解假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵在Rt△DCE中，CD＝12，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×32＝63，CE＝CD·cos60°＝12×12＝6.∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝63，∵在Rt△D′CE′中，∠D′CE′＝39°，∴CE′＝D′E′tan39°≈630.81≈12.8，∴DD′＝EE′＝CE′－CE＝12.8－6＝6.8(米)．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．【变式4】(2017·荆州)如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆AB的高度．(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号)解答33354534解如图，延长ED交BC的延长线于点F，则∠CFD＝90°，∵tan∠DCF＝i＝13＝33，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4，∴DF＝12CD＝2，∴CF＝CD·cos∠DCF＝4×32＝23，∴BF＝BC＋CF＝23＋23＝