解三角形应用举例(经典)

1.正弦定理：CcBbAasinsinsinR2复习回顾2222bacaccosB2222acbcosBac2.余弦定理和推论：2222cababcosC2222bacaccosB2222acbcosBac2222abccosCab2222abcbccosA2222bcacosAbc1.2解三角形应用举例高度角度距离有关三角形计算经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。光学经纬仪钢卷尺ABC引例：如图，A,B两点在河两岸，现有经纬仪和钢卷尺两种工具，如何测量A,B两点距离？）的距离（精确到求通过测量得：mABCAmAC1.0,50,75,5000引例2.如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,B的距离，请你设计一种测量A,B距离的方法？BACba，则为角以及距离为测量得出取某一点CabBCACC,,,由余弦定理得：cos222abbaAB引例3.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行驶，某人在另一岸的C点看到汽车从A点到B点用了t秒，请你设计方案求汽车的速度？(A、B两点不可到达)分析：用引例的方法，可以计算出AC,BC的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。ACBACBD解：在岸边选定一点D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得)sin()sin()(180sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBC计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离cos222BCACBCACABtABv所以，汽车的速度如图,隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得∠ACB=750,∠BCD=450,∠ADC=300，∠ADB=450(A、B、C、D在同一平面)，求两目标AB之间的距离。3ABCD练习1测量问题之一：水平距离的测量①两点间不能到达，又不能相互看到。(如图1所示)需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的长。②两点能相互看到，但不能到达。(如图2所示)需要测量BC的长、角B和角C的大小，由三角形的内角和，求出角A然后由正弦定理，可求边AB的长。图1图2③两点都不能到达1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。实际问题→数学问题（三角形）→数学问题的解（解三角形）→实际问题的解解应用题的一般步骤是：小结000045303927419和改成和题，将组第练习：APABPQ300450一海轮以20nmile/h的速度向正东航行,它在A点测得灯塔P在船的北600东,2个小时后船到达B点时,测得灯塔在船的北450东,求(1)船在B点时与灯塔P的距离.(2)已知以P为圆心,55nmile的半径的圆形水域内有暗礁,那么船工继续向正东航行,有无触礁的危险.练习1会练习2：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北75°东，航行20海里后，见此岛在北30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。2ABCM北北220解：在△ABC中∠ACB=120°∠BAC=45°由正弦定理得：45sin120sinBCAB由BC=20,可求AB∴得AM=≈8.978265215∴无触礁危险ABCM北北22075301.2解三角形应用举例高度和角度的测量解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，如图3、方位角：从正北方向按照顺时针方向到目标方向线的水平夹角..,1的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的最高点不可到达的一个建筑物是底部、例ABABABBEAHGDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得练习1:在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得A处的俯角β＝30°。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长DABC)(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得，解CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度约为14米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC例2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，仰角为8º，求此山的高度CD.14.08tan,17.010sin,26.015sin000例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？143538sin09,14,10ACxABxCBBxAB追上走私船，则处小时后在方向经过解：设巡逻船沿0001204575ACB02220222120cos1092)10(9)14(120cos2xxxBCACBCACAB即由余弦定理得)(16923,02730322舍去或解得化简得：xxxx21,15ABCB1435120sinsin0ABCBBAC038BAC答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。3BCDEA24练习2某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向.它以每小时36海里的速度向正北方向航行,经过40分钟航行到B处看灯塔S在北偏东方向.求此时货轮到灯塔S的距离.307516.97米某人在高出海面600m的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为300，航标B在南偏东600，俯角为450，求这两个航标间的距离。WNES4530PCBA练习3补例、如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长．解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，∴BC＝7，设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.即(218)2＝9＋y2－3y，整理得：(y－158)(y－98)＝0，∴y＝158或y＝98(舍去)，∴AD的长为158.