2017.04.27平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积练习题一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为()A.13B.43C．3D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝23×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为()A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝a·（a－b）|a||a－b|＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.答案：C6．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝()A．53B．35C．25D．22解析：因为a∥b，所以4＋2x＝0，所以x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a－b|＝35.答案：B7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO→·BC→的值是()A．－8B．－1C．1D．8[答案]D[解析]取BC的中点D，连接AD、OD，则有OD⊥BC，AD→＝12(AB→＋AC→)，BC→＝AC→－AB→，AO→·BC→＝(AD→＋DO→)·BC→＝AD→·BC→＋DO→·BC→＝AD→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AC→2－AB→2)＝12×(52－32)＝8，选D．8．(2015·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb．若b⊥c，则实数k的值等于()A．－32B．－53C.53D.32解析：c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－32.答案：A9．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析：AC→＝(－1，－3)，AB→＝(3，－1)．因为AC→·AB→＝－3＋3＝0，所以AC⊥AB.又因为|AC→|＝10，|AB→|＝10，所以AC＝AB.所以△ABC为等腰直角三角形．答案：C10．点O是△ABC所在平面上一点，且满足OAOBOBOCOAOC，则点O是△ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外心解析：因为OA→·OB→＝OB→·OC→，所以OB→·(OA→－OC→)＝0，即OB→·CA→＝0,则OB→⊥CA→.同理OA→⊥BC→，OC→⊥AB→.所以O是△ABC的垂心．答案：B11．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PAPBPC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.34解析：由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.答案：C12．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若()()()()PBPCOBOCPCPAOAOC＝0，则O为△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心解析：因为(PB→－PC→)·(OB→＋OC→)＝0，则(OB→－OC→)·(OB→＋OC→)＝0，所以OB→2－OC→2＝0，所以|OB→|＝|OC→|.同理可得|OA→|＝|OC→|，即|OA→|＝|OB→|＝|OC→|.所以O为△ABC的外心．答案：B二、填空题13．如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足3BMMA，则CMCB＝________．解析：CM→·CB→＝CA→＋14AB→·CB→＝14AB→·CB→＝14(CB→－CA→)·CB→＝14CB2→＝4.答案：414.如图所示，已知点A(1，1)，单位圆上半部分上的点B满足OAOB＝0，则向量OB的坐标为________．解析：设B(x，y)，y0，x2＋y2＝1，x＋y＝0，x＝－22，y＝22，所以OB→＝－22，22.答案：－22，2215．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且满足：|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：在△ABC中，因为|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，所以△ABC为直角三角形，且BC⊥BA，以BA，BC为x，y轴建立坐标系，则B(0，0)，A(3，0)，C(0，1)，所以a＝BC→＝(0，1)，b＝CA→＝(3，－1)，c＝AB→＝(－3，0)．所以a·b＋b·c＋a·c＝－1－3＋0＝－4.答案：－416．在△ABC中，已知|AB|＝|AC|＝4，且ABAC＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB→·AC→＝4×4·cosA＝8，所以cosA＝12，所以∠A＝π3，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形三、解答题17．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量ka＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝12.(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，所以4（2k＋1）＋320，k≠12，解得k－92或k≠12.18.如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，所以M(8，4)，N(4，2)．设点E(e，0)，则AM→＝(8，4)，AN→＝(4，2)，AE→＝(e，0)，EN→＝(4－e，2)，由AM→⊥EN→得AM→·EN→＝0，即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得e＝5，即|AE→|＝5.所以S△AEM＝12|AE→||BM→|＝12×5×4＝10.19．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝5.(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解：(1)由|3a－b|＝5，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5.因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，所以9－6a·b＋1＝5.所以a·b＝56.所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a＋3b|＝15.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cosθ＝（3a－b）·（a＋3b）|3a－b||a＋3b|＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝1－cos2θ＝1－4392＝339.所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为339.20．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP→＝2PD→.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP→·BP→的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP→·BP→＝6，求AB→与AD→夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD→·DC→＝0.由CP→＝2PD→，得DP→＝13DC→，CP→＝23CD→＝－23DC→.所以AP→·BP→＝(AD→＋DP→)·(BC→＋CP→)＝AD→＋13DC→·AD→－23DC→＝AD→2－13AD→·DC→－29DC2→＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋13DC→＝AD→＋13AB→，BP→＝BC→＋CP→＝BC→＋23CD→＝AD→－23AB→，所以AP→·BP→＝AD→＋13AB→·AD→－23AB→＝AD2→－13AB→·AD→－29AB→2＝36－13AB→·AD→－18＝18－13AB→·AD→.又AP→·BP→＝6，所以18－13AB→·AD→＝6，所以AB→·AD→＝36.又AB→·AD→＝|AB→|·|AD→|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝23.所以AB→与AD→夹角的余弦值为23.21．(2015·济宁模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(3，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|m恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)∵a⊥b，∴3cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝3，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－3)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(12sinθ－32cosθ)＝8＋8sin(θ－π3)，又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，23π]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|m恒成立．∴m4.22．(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0αxπ.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．[解析]∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝π4.∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx(π4xπ)，则t∈(－1，2)，且2sinxcosx＝t2－1.∴y＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，t∈(－1，2)．当t＝－22时，ymin＝－32，此时sinx＋cosx＝－22.即2sin(x＋π4)＝－22，sin(x＋π4)＝－12，∵π4xπ，∴π2x＋π45π4.∴x＋π4＝7π6，即x＝1112π.所以函数f(x)的最小值为－32，相应的x的值为1112π.(2)∵a与b的夹角为π3，cosπ3＝a·b|a||b|＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)，∵0αxπ，∴0x－απ.∴x－α＝π3，∵a⊥