二项式定理

1/51.3二项式定理（1）教材分析本节内容是数学选修2-3第一章第三节，是在学习了计数原理的基础上展开的。一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分步做准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。总之，二项式定理是综合性的、具有联系不同内容作用的知识.课时分配本节内容用2课时的时间完成，第一节主要用两个计数原理分析()nab的展开式，归纳的得出二项式定理，并能用计数原理和数学归纳法证明。掌握二项展开式的通项公式，并会简单应用。第二课时主要是运用二项式定理解决整除问题、求特殊项等问题。教案目标重点:用两个计数原理分析()nab的展开式，归纳的得出二项式定理，并能用计数原理证明。掌握二项展开式的通项公式。难点：用两个原理分析()nab的展开式；用两个原理证明二项式定理．知识点：理解二项展开式的推导过程；掌握公式的运用。能力点：如何探寻二项展开式证明思路，归纳思想的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：运用数学归纳法证明二项式定理.考试点：用通项公式求特殊项.拓展点：用数学归纳法证明二项式定理.教具准备多媒体课件课堂模式学案导学一、引入新课⑴22202122222()2abaabbCaCabCb；⑵33223031222333333()33abaababbCaCabCabCb奎屯王新敞新疆⑶4()()()()()ababababab的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a，3ab，22ab，3ab，4b，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，4a的系数是04C；恰有1个2/5取b的情况有14C种，3ab的系数是14C，恰有2个取b的情况有24C种，22ab的系数是24C，恰有3个取b的情况有34C种，3ab的系数是34C，有4都取b的情况有44C种，4b的系数是44C，∴40413222334444444()abCaCabCabCabCb．【设计说明】由特殊到一般，既引出二项式定理，又对二项展开式项的产生给出了科学的解释，为下一步二项定理的证明做好铺垫。二、探究新知一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也是成立的，即011()......nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb证明一：()nab是n个()ab相乘，每个()ab在相乘时，有两种选择，选a或b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是knkab的形式，k=0，1，…，n；对于每一项knkab，它是由k个()ab选了a，nk个()ab选了b得到的，它出现的次数相当于从n个()ab中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。证明二：数学归纳法证明证明：(1)当n=1时，左边＝(a+b)1=a+b右边＝01Ca1+11Cb1=a+b∴等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即(a+b)k=0kCak+1kC·ak-1b+…+rkCak-rbr+…kkC·bk那么当n=k+1时(a+b)k+1=(a+b)k·(a+b)=(0kCak+1kC·ak-1b+…+rkCak-rbr+…+kkC·bk)(a+b)＝(0kC·ak+1+1kCakb+…+rkCak-r+1br+…+kkCabk)+(0kCakb+1kCak-1b2+…+rkC·ak-rbr+1＋…＋kkC·bk+1)＝0kCak+1+(1kC+0kC)akb+…+(1rkC+rkC)ak-rbr+1+…+(kkC+1kkC)abk+kkC·bk+1由组合数性质得，okC=01kC1kC+okC=11kC，…1rkC+rkC=11rkC，kkC+1kkC=kkC1，kkC=11kkC∴(a+b)k+1=01kCak+1+11kCakb1+…+11kkCak-rbr+1+…+kkC1abk+11kkCbk+1，即1nk等式成立。由数学归纳法知，等式对一切*nN都成立。3/5三、理解新知1、项数：展开式中共1n项。2、指数：字母a按降幂排列，次数由n到0；字母b按升幂排列，次数由0到n.3、系数：各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数。4、通项：rnrrnCab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项1rnrrrnTCab．5、特例：设1,abx，则1(1)1nrrnnnxCxCxx[设计意图]分析二项展开式得到结构特点，使学生准确的记忆公式，为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1．求61(2)xx的展开式.解法1：先化成指数幂，直接展开111111111606152423332222222226666(2)(2)(2)()(2)()(2)()xxCxCxxCxxCxx111142455662222666(2)()(2)()()CxxCxxCx03122366666432168CxCxCxC41526366642CxCxCx32236012164192240160xxxxxx解法2：为了方便，可以先化简后展开61(2)xx=663211()(21)xxxx6152433425666666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)]xCxCxCxCxCxCx6543231(646321516208154621)xxxxxxx32236012164192240160xxxxxx[设计意图]本题主要让学生熟悉二项展开式，教师引导学生独立完成，可以让学生对“直接展开”和“化简后展开”进行对比。例2已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【分析】本题主要运用二项式定理的通项求特殊项。对于有理项，要求系数为有理数，字母指数为整数或分数。4/5解：通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C210(－3)2＝405.(3)由题意得10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2，0，－2，即r＝2，5，8.则第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236，295245x－2.[设计意图]让学生认识通项在求一些特殊项中的应用。并把有理项的概念给学生讲明，避免在课后作业中碰到而不知所措。五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：１．知识：（1）二项展开式011()......nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb.（2）通项1rnrrrnTCab.２．思想方法：归纳思想，转化与划归思想教师总结：我们用特殊到一般的归纳思想推导出二项式定理，公式的推导和证明过程用到了第一章学过的知识，从项的产生着手，易于理解。无论是对二项式展开，还是求特定项，可以先进行化简，降低运算量，避免出错，体现了转化与划归的思想方法。六、布置作业1．阅读教材P29—31；2.书面作业必做题：P31练习2、3、4.P37习题1.3A组2.4.选做题：1.若510sin,sin,510且,为锐角，则.1.(2012·高考福建卷)4()ax的展开式中3x的系数等于8，则实数a＝________．2.(2012·新乡质检)如果321()nxx的展开式中，含2x项为第三项，则自然数n________．3.化简432(1)4(1)6(1)4(1)1xxxx得________．5/54.求61(2)xx的展开式中，(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含2x的项及项数．选做题答案：1.22.83.4x4.(1)第3项的二项式系数为2615C，第3项的系数为4262240C.(2)T2＝－192x2.[设计意图]作业设计，一是让学生通过阅读教材对二项式定理有更深入的认知，二是通过课后作业的练习进一步巩固对本节知识的掌握。七、教后反思1.本教案的亮点是（1）用归纳的方法得出二项式定理，并用两种方法进行证明。（2）在例题的教案中，紧扣本节的两个问题展开。（3）作业的布置适中，对巩固基础起到了良好的作用．2.本节课的弱项是对师生互动环节设计的不够细致.八、板书设计1．3.1二项式定理一、二项式定理：二、证明：三、说明：例一例二四、小结五、作业布置